En mathématiques, en vue d'un certain nombre d'applications (théorie des distributions, des hyperfonctions, et leur utilisation notamment pour l'étude des équations aux dérivées partielles), il est nécessaire de développer et d'étudier la notion de dual d'un espace vectoriel topologique, plus générale que celle de dual d'un espace vectoriel normé. Néanmoins, la théorie de la dualité n'est fructueuse et utile que dans le cadre des espaces localement convexes, dont la théorie a été fondée par Andreï Kolmogorov et John von Neumann en 1935. La théorie de la dualité dans ces espaces s'est développée dans les années suivantes, avec les contributions importantes de Gottfried Köthe (sur les espaces de suites)Ces contributions, tout d'abord effectuées en collaboration avec Otto Toeplitz, dont Köthe était l'élève, s'échelonnent entre 1934 et 1956 (voir notamment la bibliographie de )., de Jean Dieudonné et de George Mackey ; puis l'article cosigné par Jean Dieudonné et Laurent Schwartz, sa généralisation par Nicolas Bourbaki, les travaux d'Alexandre Grothendieck, enfin la parution entre 1953 et 1955 de la première édition du Livre des Éléments de mathématique de N. Bourbaki consacré aux espaces vectoriels topologiques, en ont marqué la maturitéIl y a eu néanmoins depuis 1955 d'innombrables contributions à la théorie des espaces vectoriels topologiques, notamment la théorie de la dualité entre espaces localement convexes et espaces vectoriels bornologiques () dont l'influence est du reste sensible au §III.3, n°1 ("Bornologies") de dans la dernière édition de 1981 : la notion de bornologie, qui s'est développée vers les années 1970, était bien entendu absente des premières éditions de ce livre... Une première approche consiste à considérer deux espaces vectoriels E et F (sans topologie a priori) et à les mettre en dualité au moyen d'une forme bilinéaire, si possible non dégénérée. Une autre approche consiste à partir d'un espace localement convexe E, puis considérer son dual topologique ; dans ce cas, E et sont naturellement mis en dualité au moyen de la « forme bilinéaire canonique ». Tous les résultats obtenus dans la première approche sont valides dans la seconde ; suivant la nature de l'espace localement convexe E, on peut obtenir certaines propriétés supplémentairesLa présentation qui suit reprend essentiellement (avec quelques simplifications : on s'intéresse surtout aux espaces localement convexes séparés) et de très rares démonstrations celle de , complétée par quelques éléments de et ..
Espaces en dualité
Définition et propriétés élémentaires
Soit E et F deux espaces localement convexes sur le corps k des réels ou des complexes. Ils sont mis en dualité si l'on s'est donné une forme bilinéaire .
On appelle topologie faible sur E (resp. sur F) définie par la dualité entre E et F la topologie la moins fine rendant continues les formes linéaires (resp. ). Cette topologie est notée (resp. ). La topologie est définie par les semi-normes et elle est donc localement convexe.
La topologie est séparée si, et seulement si pour tout dans E, il existe tel que . Dans ce cas, on peut identifier E à un sous-espace vectoriel du dual algébrique de F en identifiant x avec la forme linéaire (l'application linéaire étant injective de E dans ).
Lorsque la forme bilinéaire B est non dégénérée (ce qu'on suppose dans ce qui suit), on dit que E et F sont en dualité séparante ; E s'identifie alors à un sous-espace de (en identifiant, comme ci-dessus, un élément x de E avec la forme linéaire ), F à un sous-espace de (en identifiant de la même manière un élément y de F avec une forme linéaire ), B à la restriction à de la forme bilinéaire canonique , et on écrit .
Ensembles polaires
Soit M une partie de E. On appelle polaire de M dans F l'ensemble Cette notation usuelle pour les polaires (cercle en exposant) est clairement distincte de celle pour les intérieurs (cercle suscrit). des tels que pour tout . L'article « Ensemble polaire » donne une définition différente, et seulement dans le cadre euclidien..
Cet ensemble contient 0 et est convexe, fermé dans F pour la topologie σ(F, E). On a et .
En conséquence du théorème de Hahn-Banach, le bipolaire est l'enveloppe convexe fermée de pour la topologie σ(E, F) (« théorème des bipolaires »). En particulier si M est convexe et contient 0, son bipolaire est simplement son adhérence dans E pour la topologie σ(E, F).
Si M est même un sous-espace vectoriel de E, alors le fermé est égal à , qui est un sous-espace vectoriel de F.
Topologie quotient
Soit M un sous-espace vectoriel de E et considérons l'espace quotient . Soit où est l'image canonique de y dans . Il est immédiat que la forme bilinéaire est bien définie et non dégénérée, et met donc en dualité séparante M et .
Pour que la topologie quotient, induite sur par , soit identique à la topologie , il faut et il suffit que M soit fermé dans E pour la topologie .
Transposée d'une application linéaire continue
Soit , deux couples d'espaces vectoriels en dualité séparante. Pour faciliter la lecture de ce qui suit, écrivons et (en notant bien qu'ici, et ne désignent pas les duals d'espaces vectoriels topologiques donnés a priori E et F). Les espaces E, F, et sont munis des topologies faibles.
Dans la suite, l'application linéaire u est supposée continue ; on a les résultats suivants :
Voyons une conséquence de ce qui précède en utilisant le langage des suites exactes : soit , , trois couples d'espaces vectoriels en dualité séparante, et considérons une suite d'applications linéaires continues (au sens des topologies faibles)
(S):
Soit la « suite duale »
(S'): .
Pour que la suite (S) soit exacte, il faut et il suffit que
(a) ,
(b) soit dense dans , (c) soit un morphisme strict de dans .
Par conséquent, si la suite (S) (resp. (S')) est exacte et si (resp. ) est un morphisme strict, alors la suite (S') (resp. (S)) est exacte. (Ce résultat est valide avec des topologies fortes si E, F et G sont des espaces de Fréchet-Schwartz.)
Dual d'un espace localement convexe
Généralités
Soit maintenant E un espace localement convexe sur le corps k des réels ou des complexes ; notons sa topologie, dite initiale. Notons son dual topologique, à savoir l'espace des formes linéaires continues pour la topologie , et son dual algébrique ().
La forme bilinéaire canonique est l'application (où , ). Elle met E et en dualité séparante.
Soit ; alors si, et seulement si son noyau H est un hyperplan fermé dans E.
La condition est évidemment nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante : si H est fermé, l'espace quotient est un espace localement convexe séparé de dimension 1 sur k. On a où est la surjection canonique de E sur , et est donc continue, et où g est une forme linéaire sur , et est donc continue puisque est de dimension finie.
La topologie est appelée la topologie affaiblie sur E. Elle est moins fine que .
Topologies sur le dual
Bornologies et espaces disqués
Soit X un ensemble et un ensemble de parties de X. On dit que est une bornologie si (a) toute partie d'un élément de est un élément de ; (b) toute réunion finie d'éléments de est un élément de ; (c) tout singleton appartient à Certains auteurs, par exemple (, ne requièrent pas la condition (c), et appellent bornologie couvrante une bornologie pour laquelle cette condition est vérifiée.. Une base d'une bornologie est un sous-ensemble de tel que tout élément de est inclus dans un élément de . Si X est un espace vectoriel sur le corps k des réels ou des complexes, une bornologie sur X est dite compatible avec la structure vectorielle de X (ou est dite « vectorielle ») si, de plus, les propriétés suivantes sont satisfaites : (d) si , alors , (e) si et , alors . On dit alors que X, muni de la bornologie , est un espace vectoriel bornologique, que l'on note Ne pas confondre un espace vectoriel bornologique avec un espace (localement convexe) bornologique. La catégorie des espaces vectoriels bornologique est duale de la catégorie des espaces localement convexes ().. Soit le dual algébrique de X ; pour tout et tout , soit
(où est la forme bilinéaire canonique) et soit l'ensemble des tels que pour tout . Il est immédiat que est un sous-espace vectoriel de et que les , forment une famille de semi-normes sur qui en fait un espace localement convexe, dual de l'espace vectoriel bornologique . Cet espace est séparé et sa topologie est celle de la convergence uniforme sur les éléments de . Si , la bornologie est dite plus fine que , car l'application identité est bornée (i.e. transforme un borné de en un borné de ).
Soit E un espace localement convexe. Rappelons qu'un ensemble est dit borné s'il est absorbé par tout voisinage de 0. On dit qu'une bornologie de E est compatible avec la topologie de E (ou est dite adaptée) si pour tout , A est borné et son adhérence est bornée. Un espace localement convexe muni d'une bornologie adaptée est appelée un espace disqué. On obtient un espace disqué à partir d'un espace localement convexe en prenant comme bornologie, par exemple, l'ensemble des bornés de E (bornologie canonique) ou l'ensemble des parties précompactes de E; ou encore, si E est séparé, en prenant comme base de la bornologie les « disques » compacts (un disque est une partie convexe équilibrée). Dans tout ce qui suit, E est un espace localement convexe, est son dual topologique et est une bornologie de E. Soit F un second espace localement convexe. On note l'espace des applications linéaires continues de E dans F, muni de la -topologie, à savoir la topologie de la convergence uniforme sur les parties de . Sur , la -topologie est localement convexe et coïncide avec la -topologie où est la plus petite bornologie adaptée à E contenant (ou, en d'autres termes, la topologie adaptée à E engendrée par ), Chap. III, §3, Prop. 2. Ceci s'applique dans le cas où F = k, donc où , et est alors noté . Sauf avis du contraire, désigne une bornologie adaptée à E; quand cela ne sera pas le cas, la plus petite bornologie adaptée à E contenant sera notée . La famille des polaires des éléments de forme une base de voisinages de 0 dans . On a (autrement dit, la bornologie est plus fine que ) si, et seulement si la -topologie de est moins fine que sa -topologie, autrement dit tout ouvert dans est ouvert dans ; à l'inverse, tout ensemble précompact dans est précompact dans .
Principales topologies sur le dual
Les bornologies les plus usuelles dont les suivantes :
(1) , ensemble des parties finies de E. La topologie est appelée la topologie faible de . On précise parfois qu'il s'agit de la « topologie *-faible » pour la distinguer de la « topologie faible » . La bornologie n'est pas adaptée à E, et est la bornologie adaptée la plus fine, constituée des ensembles A inclus dans un sous-espace de dimension finie et bornés dans cet espace, §3, Exemple 3..
(2) , ensemble des parties convexes compactes de E, si E est séparé.
(3) , ensemble des parties compactes de E, si E est séparé.
(4) , ensemble des parties relativement compactes de E, si E est séparé.
(5) , ensemble des parties précompactes de E.
(6) , ensemble des parties bornées de E. Cette bornologie est dite canonique, et la topologie est appelée la topologie forte de .
Les -topologies ci-dessus vont de la moins fine à la plus fine (tandis que les bornologies vont de la plus fine à la moins fine).
Parties équicontinues du dual de E
Dans ce qui suit, (resp. ) désigne l'espace vectoriel E muni de la topologie initiale (resp. la topologie faible ). Quand on parle ci-dessous de polaire, c'est relativement à la dualité entre E et .
Rappelons qu'une partie M de est équicontinue si, et seulement si
pour tout il existe un voisinage V de 0 dans tel que pour tous et .
Si M est une partie de , on montre facilement que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) M est équicontinue ;
(b) M est incluse dans le polaire d'un voisinage de 0 dans ;