La représentabilité finie est un concept mathématique utilisé dans l'étude des espaces de Banach. L'idée principale, introduite par Grothendieck, consiste à examiner les isomorphismes entre sous-espaces de dimension finie.

Définition Soient E et F deux espaces vectoriels normés. F est dit finiment représentable dans E si, pour tout sous-espace U ⊂ F de dimension finie et tout ε > 0, il existe un sous-espace V ⊂ E et un isomorphisme T : U → V tels que ║T║║T ║ < 1 + ε, où ║ ║ désigne la norme d'opérateur.

Autrement dit, F est finiment représentable dans E si tout sous-espace de dimension finie de F est à distance de Banach-Mazur arbitrairement petite d'un sous-espace de dimension finie de E.

Exemples Tout sous-espace de E est finiment représentable dans E. La représentabilité finie est une relation transitive, c'est-à-dire que si G est finiment représentable dans F et F finiment représentable dans E, alors G est finiment représentable dans E. Pour , est finiment représentable dans . Pour et , n'est pas finiment représentable dans . L'espace de fonctions C([0, 1]) est finiment représentable dans l'espace c des suites réelles de limite nulle, et vice-versa.

Théorème de Dvoretzky D'après le théorème de Banach-Mazur, tout espace de Banach séparable est isométrique à un sous-espace de C([0, 1]). Tout espace de Banach est donc finiment représentable dans C([0, 1]), autrement dit : C([0, 1]) est maximal pour la relation de représentabilité finie. Un corollaire du théorème de Dvoretzky garantit qu'à l'opposé, les espaces de Hilbert sont minimaux :

Cette minimalité caractérise même les espaces de Hilbert. En effet, si un Banach H est finiment représentable dans tout Banach de dimension infinie alors il l'est dans et on en déduit facilement qu'il vérifie l'identité du parallélogramme donc, d'après le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, H est un Hilbert.

Super-propriétés Pour toute propriété P vérifiée par certains espaces de Banach, on dit qu'un Banach E a la propriété super-P, ou « est » super-P, si tout Banach finiment représentable dans E a la propriété P. D'après le théorème de Dvoretzky, pour qu'il existe un Banach super-P de dimension infinie, il faut que tout Hilbert ait la propriété P.

« Super- » est bien sûr un opérateur de clôture, c'est-à-dire qu'on a « super-P ⇒ P », « si P ⇒ Q alors super-P ⇒ super-Q » et « super-super-Q ⇔ super-Q ».

En particulier, P est une super-propriété (c'est-à-dire de la forme super-Q) si et seulement si super-P ⇔ P. Par exemple, la convexité uniforme est une super-propriété, mais pas la réflexivité.

Super-réflexivité La convexité uniforme entraîne la propriété de Banach-Saks (théorème dû à Kakutani), qui elle-même entraîne la réflexivité (théorème de T. Nishiura et D. Waterman). Tout espace uniformément convexe est donc réflexif (théorème de Milman-Pettis) et même super-réflexif (puisque la convexité uniforme est une super-propriété). La réciproque est due à Per Enflo :

On en déduit :

Principe de réflexivité locale Le principe de réflexivité locale, explicité par Joram Lindenstrauss et Haskell Rosenthal, assure que le bidual E'' d'un espace de Banach E est finiment représentable dans E, et même :

Notes et références

Bibliographie

Catégorie:Espace de Banach