Le lemme de Whitehead, nommé d'après J. H. C. Whitehead.., est un lemme d'algèbre abstraite qui permet de décrire le sous-groupe dérivé du groupe général linéaire infini d'un anneau unitaire... Il est utilisé en K-théorie algébrique...
Notations Soit R un anneau unitaire.
Le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GL(n, R) et la réunion croissante de ces groupes est notée GL(R).
Le sous-groupe de GL(n, R) engendré par les matrices élémentaires de transvections est noté E(n, R). Le sous-groupe de GL(R) constitué de la réunion des E(n, R) est noté E(R).
Dans un groupe G, le sous-groupe dérivé (engendré par les commutateurs [x, y] = xyxy) sera noté ici [G, G].
Énoncés Divers énoncés portent en fait le nom de « lemme de Whitehead ». Pour toutes matrices A et B dans GL(n, R),.autrement dit : pour toute matrice B dans GL(n, R), Le groupe dérivé du groupe linéaire infini est le sous-groupe engendré par les matrices élémentaires de transvections :[GL(R), GL(R)] = E(R). De plus, ce sous-groupe est parfait : [E(R), E(R)] = E(R).
Remarques L'analogue des énoncés 2 et 3 pour GL(n, R) et E(n, R) est faux, par exemple pour R égal au corps fini ℤ/2ℤ et pour n = 2 : GL(2, ℤ/2ℤ) est non abélien et d'ordre 6, donc isomorphe au groupe symétrique S, dont le groupe dérivé est le sous-groupe alterné A, alors que E(2, ℤ/2ℤ) est égal à GL(2, ℤ/2ℤ) tout entier.
Cependant : d'après la deuxième relation de Steinberg e(λμ) = [e(λ), e(μ)] pour i, j, k distincts, E(n, R) est parfait dès que n ≥ 3. si R est un anneau euclidien ou un anneau commutatif semi-local, E(n, R) est égal au groupe spécial linéaire SL(n, R) tout entier. si R est un anneau de polynômes à un nombre fini d'indéterminées sur un corps, E(n, R) = SL(n, R) pour n ≥ 3, d'après un théorème de Suslin.. Le premier de ces trois points assure que E(R) = [E(R), E(R)] ⊂ [GL(R), GL(R)]. Pour l'inclusion réciproque de [GL(R), GL(R)] dans E(R), il suffit d'utiliser l'énoncé 1 ci-dessus du « lemme de Whitehead » et l'égalité
L'énoncé 2 du lemme de Whitehead revient à dire que le sous-groupe E(R) est normal dans GL(R) et que le groupe quotient GL(R)/E(R) est l'abélianisé K(R) de GL(R). Si l'anneau R est commutatif, on a un morphisme déterminant, de K(R) dans le groupe R des inversibles de R. Pour que ce soit un isomorphisme, il suffit que E(n, R) = SL(n, R) pour tout n assez grand., comme dans les « bons cas » ci-dessus, mais il ne suffit pas que R soit principal..
Notes et références
Catégorie:Matrice Whitehead Catégorie:Algèbre homologique Catégorie:Théorème d'algèbre