En théorie des nombres, la -ième fonction totient de Jordan — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier associe le nombre de -uplets d'entiers compris entre 1 et qui, joints à , forment un -uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est .

Calcul La fonction est multiplicative et vaut

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers de .

On peut définir plus généralement pour tout réel non nul et même pour « presque » tout complexe , par la même formuleVoir Somme de Ramanujan, § φ(n) (sous réserve que ne soit ni nul, ni de la forme pour un entier non nul et un nombre premier , qui sont alors uniques)..

Propriétés La formule se réécrit. en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante et de la fonction puissance ou encore, par inversion de Möbius ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour .

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or et l'inverse de sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de à tout nombre complexe : par exemple .

Fonction totient et séries de Dirichlet Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius est et celle de est , on en déduit celle de :

Un ordre moyen de est

La est Ses généralisations, les fonctions multiplicatives et , sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer. :

Ordres de groupes de matrices L'ordre du groupe linéaire estToutes ces formules sont extraites de .

Celui du groupe spécial linéaire est

Celui du groupe symplectique est

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples L'OEIS donne des listes explicites pour (), (), (), () et à ( à ).

Des quotients par sont (), (), (), (), (), (), (), (), () et ().

Des exemples de quotients sont (), () et ().

Notes et références

, vol. I, 1971, Chelsea Publishing , p. 147

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