thumb|Centre de gravité G d'un demi-cercle. L'arc de cercle suspendu à son extrémité F se positionne de telle sorte que G soit à la verticale de F. En géométrie différentielle, le centre de gravité d'un arc de courbe massique est défini comme le point qui annule la somme .

Définition Si la courbe est paramétrée par son abscisse curviligne et si sa masse linéique est , les coordonnées du centre de gravité de l'arc de courbe entre les valeurs et sont données par les formules suivantes :

Si la courbe massique est homogène les coordonnées de s'écrivent plus simplement :

Si la courbe homogène est paramétrée de façon quelconque, les coordonnées de s'écrivent :

Propriétés Si la courbe homogène possède un axe de symétrie, il contient le centre de gravité ; si elle possède un centre de symétrie, ce dernier est le centre de gravité.

Exemples

Le centre de gravité d'un segment est le milieu de ce segment.

Le centre de gravité d'un triangle creux (formé par les trois côtés du triangle) est le centre du cercle inscrit du triangle formé sur les milieux de chaque côté, appelé centre de Spieker du triangle, . C'est donc l'image du centre du cercle inscrit du premier triangle par une homothétie de centre (centre de gravité du triangle plein) et de rapport -1/2.

Le centre de gravité d'un arc de cercle de centre , de rayon , de longueur et de corde est situé sur l'axe de symétrie de cet arc et à une distance du centre égale à où est l'angle au centre de cet arc de cercle. Ceci se démontre par intégration, et aussi par le premier théorème de Guldin, qui établit une relation entre l'aire de la surface engendrée par la rotation d'une courbe plane autour d'un axe, sa longueur et la distance de son centre de gravité à ce même axe.

Le centre de gravité d'un arc d'hélice circulaire, inférieur à une spire, se projette sur le centre de gravité de l'arc de cercle projeté et se situe à mi-hauteur des deux extrémités de l'arc d'héliceFeriot, Centre de gravité d'un arc d'hélice tracé sur un cylindre droit.

Références

Sources Coordonnées des centres de gravité sur le site Université en Ligne R. Gieck, Formulaire technique,1997, Section I 14 Centroids and center of gravity Siméon Denis Poisson, ''Traité de Mechanique, p. 37-40

Voir aussi

Articles connexes Centre de gravité Barycentre Centre de gravité d'une courbe triangulaire Centre de masse d'une plaque homogène Cochléoïde courbe lieu du centre de gravité d'un arc d'un cercle fixé, arc dont une extrémité est fixe et l'autre variable

Liens externes

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