En mathématiques, on désigne par majorisation un certain préordre sur les éléments de l'espace vectoriel de dimension sur les nombres réels. Ce préordre a de nombreuses applications dans diverses branches des mathématiques.
Définition
Pour un vecteur , on note le vecteur de qui a les mêmes composantes, mais rangées en ordre décroissant. Par exemple, .
Soient et deux vecteurs de . On dit que majorise ou domine , et l'on note , ou encore , si
pour et de plus
Par définition, la majorisation ne dépend pas de l’ordre des composantes des deux vecteurs, et ce n'est donc pas une relation d'ordre, puisque et n'implique pas que , mais seulement que Pour ajouter de la confusion, certaines sources utilisent une notation opposée, c'est-à-dire au lieu de . Il en est ainsi dans des livres anciens en anglais, notamment dans . Ultérieurement, ces auteurs, dans utilisent la notation qui est adoptée ici..
Une fonction est dite convexe au sens de Schur si implique .
La majorisation, comme définie ici, peut être étendue en un ordre appelé ordre de Lorenz, qui est un ordre partiel sur des fonctions de répartition.
Exemples Comme l'ordre des entrées n'influe par sur la majorisation, on a tout comme . De même, . Plus intéressante est la séquence suivante de vecteurs de :
Conditions équivalentes
Pour , les propriétés suivantes sont équivalentes à .
Il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est , le dernier est et le successeur de chaque vecteur est une combinaison convexe de et de l'un de ses transposés, ce qui revient à dire qu'on passe de à par un : en ne modifiant que deux composantes , augmentant d'au plus et diminuant d'autant. est dans l'enveloppe convexe de tous les vecteurs obtenus en permutant les coordonnées de , c'est-à-dire des vecteursoù parcourt le groupe symétrique .La figure 1 montre l'enveloppe convexe, en bleu, pour le vecteur ; c'est le segment de droite joignant à . Parmi tous les vecteurs sur ce segment, celui pour lequel la première composante de est la plus petite est le vecteur . La figure 2 montre une enveloppe convexe en 3D, qui est ici un polygone plan. Son centre est le « plus petit » vecteur tel que . On a pour une matrice bistochastique . Pour toute fonction convexe , on a. Pour tout nombre réel , on a Il existe une matrice hermitienne dont l'« ensemble » des valeurs propres est et la suite des entrées diagonales est (théorème de Schur-Horn).
Notons (0) la condition et (1), (2) et (3) les trois premières conditions ci-dessus. Nous éviterons d'utiliser le théorème de Birkhoff-von Neumann, car il est justement démontré dans l'article « Matrice bistochastique » à partir de l'équivalence entre les conditions (2) et (3).
(0) ⇒ (1). : Supposons et montrons qu'on peut passer de y à x par une suite finie de transferts. Puisque les transpositions sont des cas particuliers de transferts et qu'elles engendrent le groupe symétrique, on peut supposer que x et y sont à coordonnées décroissantes et x ≠ y. Procédons par récurrence sur le nombre d'indices i tels que x ≠ y (ce nombre est > 1 — car — donc ceci montrera même que d – 1 transferts suffisent). Il suffit de savoir construire, par un transfert sur y, un vecteur z ayant avec x au moins une coordonnée commune de plus que y, et qui soit encore à coordonnées décroissantes et majorisant x. Soit j le plus grand indice tel que x < y (il en existe, d'après les hypothèses). Puis, soit, parmi les indices supérieurs à j, k le plus petit tel que x > y (il en existe car pour i égal au plus grand indice tel que x ≠ y, on a x > y). On vérifie que pour δ = min(y – x, x – y), le vecteur z déduit de y en retranchant δ de la j-ème coordonnée et en ajoutant δ à la k-ième convient.
(1) ⇒ (2) : Notons Γ(a) l'enveloppe convexe des permutés d'un vecteur a. Pour tout vecteur b déduit de a par un transfert, Γ(a) contient b donc (puisque cet ensemble est convexe et stable par permutations) il contient Γ(b). Donc si x se déduit de y par une suite finie de transferts alors il appartient à Γ(y).
(2) ⇒ (3) : Toute matrice de permutation est bistochastique et toute combinaison convexe de matrices bistochastiques est bistochastique.
(3) ⇒ (0) : Supposons que x = Ay pour une certaine matrice bistochastique et montrons que . D'abord,
Ensuite, sans perte de généralité, x et y sont à coordonnées décroissantes (car tout produit de A, à gauche ou à droite, par des matrices de permutation, est bistochastique). Alors, pour tout k,
Emploi du terme dans d'autres contextes Si et sont deux matrices hermitiennes, on dit que majorise si l'ensemble des valeurs propres de majorise celui de . Étant donné deux suites d'entiers naturels , on dit que majorise si pour tout . Si l'on a seulement pour tout pour un certain , on dit que majorise . Diverses autres applications et généralisations sont discutées dans l'ouvrage de référence .
Voir aussi Inégalité de Muirhead Fonction Schur-convexe Ordre de domination. C'est une version faible de majorisation appliquée aux entiers naturels.
Notes et références
Références
(print) (eBook)
Liens externes
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