La composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).
Définition formelle vignette|Un exemple d'une composition de fonction avec les détails pour chaque élément. Soient , et trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions et . On définit la composée de par , notée , par
On applique ici à l'argument , puis on applique au résultat.
On obtient ainsi une nouvelle fonction .
La notation se lit « rond », « suivie de » ou encore « après ». On note parfois pour .
Cette définition peut être visualisée par un diagramme commutatif.
Exemple d'incompatibilité des domaines Soient les deux fonctions :
Ici, l'ensemble d'arrivée de est . Or l'ensemble de départ de est (il n'existe pas de nombre réel dont le carré soit strictement négatif). Stricto sensu, la fonction n'a donc pas de sens ici et seule en a un, où est la fonction suivante, obtenue par restriction-corestriction de :
Propriétés Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.
La composition de fonctions n'est généralement pas commutative : La composition de fonctions est associative : La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque ) : Si la fonction est continue en et la fonction est continue en alors est continue en . Composition de deux fonctions et strictement monotones (le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes) : si et ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante ; si et ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante. Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :Voir l'article « Théorème de dérivation des fonctions composées ». Réciproque d'une composée :
Puissances fonctionnelles On conserve les notations ci-dessus. Si alors peut être composée avec elle-même et la composée est notée . Ainsi
et de manière plus générale : . On pose
où est l'application identité de l'ensemble .
On peut étendre cette notation aux exposants entiers négatifs, à condition de supposer la fonction bijective (de dans lui-même). Alors, désigne l'application réciproque et pour tout entier , est la composée de par elle-même fois.
La puissance d'une fonction est distincte de la multiplication des applications. Par exemple, désigne couramment le carré de la fonction sinus : .
Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.
On peut également s'intéresser aux racines carrées fonctionnelles, c'est-à-dire que l'on cherche, pour une fonction donnée, une fonction satisfaisant pour tout .
Autre notation trouvèrent que la notation portait à confusion et décidèrent d'utiliser une notation post-fixée : pour et pour .
Typographie
Le caractère Unicode « rond », « ∘ », est le caractère U+2218. En LaTeX, ce caractère est obtenu par la commande \circ.
Voir aussi
Articles connexes Logique combinatoire Lambda-calcul Fonction d'ordre supérieur Composition de relations binaires Lien externe
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