L'intégration de la fonction réciproque d'une bijection peut être effectuée au moyen d'une formule mathématique mettant seulement en jeu la bijection réciproque et une primitive de .

Énoncé du théorème Soit et deux intervalles de . On suppose que est une bijection continue et soit sa bijection réciproque (on démontre que est également continue, donc et admettent des primitives). Si désigne une primitive de , les primitives de sont de la forme

Preuves Si est supposée dérivable, le théorème ci-dessus s'ensuit immédiatement par dérivation. (première méthode). Si est supposée dérivable, le théorème s'obtient par changement de variable (en posant ), suivi d'une intégration par parties.. Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque ( ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en et . La première méthode s'adapte au cas où est seulement absolument continue. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des intégrales de Stieltjes.. Si et , le théorème se réécrit : La figure ci-contre et p. 273 de la réédition de 2006. est une preuve sans mots de cette formule (proche sous cette forme de l'inégalité de Young), que l'on peut expliciter en termes d'intégrales de Riemann-Darboux. On peut aussi vérifier simplement qu'en tout point de , le nombre dérivé de la fonction est bien égal à , c'est-à-dire queIl suffit pour cela d'appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction entre et , puis de se souvenir que est monotone.

Exemples Pour , donc et . La formule ci-dessus implique immédiatement De même, pour , ce qui donne et , il vient Avec , donc et , il vient

Historique Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en termes d'aire, et d'une démonstration supposant dérivable, fut publié en 1905 par Charles-Ange Laisant., qui la jugeait , mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli..

Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement. En 1955, F. D. Parker souligne son intérêt pour les premières années universitaires et en donne plusieurs applications, publié comme « Classroom notes ».. Dans son de 1967, Michael Spivak propose en exercice les trois premières preuves ci-dessus, en détaillant la troisième (par les sommes de Darboux), qui traite le cas général. Dans un article de 1994., Eric Key rédige cette démonstration, qui souligne l'adéquation dans ce cas de la définition formelle de l'intégrale à l'intuition géométrique donnée par l'aire et insiste sur l'intérêt du théorème en s'appuyant sur Parker.

Analogue pour les fonctions holomorphes Pour les fonctions holomorphes, on démontre la même formule par la première des preuves ci-dessus (transcrite en termes de différentiation complexe) :

Soient U et V deux ouverts simplement connexes du plan complexe. Supposons que est un biholomorphisme, c'est-à-dire une bijection holomorphe dont la réciproque est holomorphe ( et admettent donc des primitives). Si désigne une primitive de , les primitives de sont de la forme

Notes et références

Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Théorie de l'intégration