Le théorème de prolongement de Dugundji est un théorème de topologie générale dû au mathématicien américain James Dugundji... Il est directement lié au théorème de Tietze-Urysohn — sur le prolongement des applications continues dans les espaces normaux — dont il est, en un certain sens, une généralisation..
Énoncé Soient X un espace métrisable, A un fermé de X et L un espace localement convexe. Alors : toute application continue f de A dans L admet un prolongement continu F de X dans L dont l'image F(X) est incluse dans l'enveloppe convexe de f(A)... ou, ce qui est équivalent : toute application continue de A dans un convexe K de L admet un prolongement continu de X dans K..
Comparaison avec le théorème de Tietze-Urysohn La première version du théorème de prolongement de Tietze correspondait au cas particulier du théorème ci-dessus où l'espace L est la droite réelle. Elle a été généralisée par Urysohn en remplaçant l'espace métrisable X de départ par n'importe quel espace normal.. Le théorème de prolongement de Dugundji est une généralisation transverse, qui remplace l'espace ℝ d'arrivée par n'importe quel espace localement convexe. Il existe une autre généralisation du théorème de Tietze, en supposant que l'espace X de départ est paracompact et que l'espace L d'arrivée est de Banach..
Démonstration Pour une distance d fixée sur X, considérons, dans l'ouvert X\A, le recouvrement constitué des boules ouvertes B(x, d(x, A)/2) de X\A, quand x parcourt cet espace.
Puisque tout espace métrique est paracompact, il existe un recouvrement ouvert localement fini (U) de X\A dont chaque ouvert est inclus dans l'une de ces boules : U ⊂ B(x, d(x, A)/2).
On choisit alors une partition de l'unité (ϕ) subordonnée à ce recouvrement et pour tout i, un point a de A tel que d(x, a) ≤ 2d(x, A), et l'on prolonge f en posant :
L'application F est clairement continue sur X\A. Montrons qu'elle l'est aussi en tout point a de A. Pour tout voisinage convexe C de f(a), il existe un réel δ > 0 tel que f(B(a, δ)∩A) ⊂ C. Pour affirmer que pour tout x ∈ B(a, δ/6)\A, f(x) ∈ C (ce qui conclura), il suffit d'utiliser que pour tout U contenant x, a ∈ B(a, δ), d'après les inégalités suivantes :
d(x, a) ≤ d(x, x) + d(x, a) ≤ d(x, x) + 2d(x, A) ≤ 5d(x, A) – 5d(x, x) ≤ 5d(x, A), d'où
d(a, a) ≤ d(a, x) + d(x, a) ≤ 6d(a, x).
Notes et références
Article connexe Extenseur absolu
Dugundji