En théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité. Une telle loi est caractérisée par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilité d'une loi uniforme continue est constante sur son support.
Elles constituent donc une généralisation de la notion d'équiprobabilité dans le cas continu pour des variables aléatoires à densité ; le cas discret étant couvert par les lois uniformes discrètes.
Une loi uniforme est paramétrée par la plus petite valeur et la plus grande valeur que la variable aléatoire correspondante peut prendre. La loi uniforme continue ainsi définie est souvent notée
Les densités associées aux lois uniformes continues sont des généralisations de la fonction rectangle en raison de leurs formes.
Caractérisation Densité La densité de probabilité de la loi est une fonction porte sur l'intervalle :
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi est :
Fonctions génératrices Fonction génératrice des moments La fonction génératrice des moments de la loi est :
Elle permet de calculer tous les moments non centrés, :
Ainsi, pour une variable aléatoire suivant la loi l'espérance est m = (a + b)/2, et la variance est m − m = (b − a)/12.
Fonction génératrice des cumulants Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme continue sur l'intervalle [0, 1] est b/n, où b est le n-ième nombre de Bernoulli.
Propriétés Statistiques d'ordre Soit un échantillon i.i.d. issu de la loi Soit la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors la distribution de est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1.
L'espérance est :
Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry.
La variance est :
Aspect uniforme La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X suit la loi et si est un sous-intervalle de [a, b], avec fixé, alors :
qui est indépendant de . Ce fait motive la dénomination de cette loi.
Loi uniforme standard Le cas particulier et donne naissance à la loi uniforme standard, notée Il faut noter le fait suivant : si est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour
Loi uniforme sur une partie borélienne À toute partie A de borélienne, dont la mesure de Lebesgue λ(A) est finie et strictement positive, on associe une loi de probabilité, appelée loi uniforme sur A, de densité de probabilité ƒ définie, pour tout par :
où χ est la fonction indicatrice (ou caractéristique), notée aussi 𝟙, de l'ensemble A. La densité est donc nulle à l'extérieur de A, mais égale à la constante sur A.
Cette page traite principalement du cas particulier où d = 1 et où A est un intervalle de
Transport et invariance
Il peut sembler surprenant que les variables et par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables et C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de elle est idempotente pour la convolution.
Distributions associées Le théorème suivantVoir l'article détaillé ici. stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme :
Ainsi, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi répartie par il suffit d'appliquer l'inverse de à des tirages (indépendants) uniformes sur
Voici quelques exemples d’application de ce théorème suit la loi exponentielle de paramètre Y = 1 – U suit la loi bêta de paramètres 1 et n. Ceci implique que la loi uniforme standard est un cas particulier de la loi bêta, de paramètres 1 et 1.
On trouvera un tableau plus complet ici. Par ailleurs, l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variables uniformes, est développé dans Non-Uniform Random Variate Generation, de Luc Devroye, édité chez Springer, disponible sur le webLa version pdf (libre et autorisée) de est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démêlés de Luc Devroye avec son éditeur..
Inférence statistique Estimation de l'un des paramètres lorsque l'autre est connu Cette section décrit l'estimation de la borne supérieure de la distribution au vu d'un échantillon de individus, la borne inférieure étant connue.
Estimation du maximum Estimateur sans biais de variance minimale
Pour une loi uniforme sur avec inconnu, l' pour le maximum est donné par :
où est le maximum de l'échantillon et la taille de l'échantillon, échantillonné sans remise (bien que cette précision n'a aucune incidence dans le cas uniforme).
On obtient cette valeur par un raisonnement similaire au cas discret. Ce problème peut être vu comme un cas simple d'. Il est connu sous le nom de Problème du char d'assaut allemand, par son application d'estimation maximale de la production des chars d'assaut allemands pendant la Seconde Guerre mondiale.
Estimateur par maximum de vraisemblance L'estimateur par maximum de vraisemblance est :
où est la valeur maximum dans l'échantillon, qui est aussi la statistique d'ordre maximale de l'échantillon.
Estimateur par la méthode des moments L'estimateur par la méthode des moments est :
où est la moyenne de l'échantillon.
Estimation du milieu Le milieu de l'intervalle de la loi uniforme est à la fois la moyenne et la médiane de cette loi. Bien que la moyenne et la médiane de l'échantillon sont des estimateurs sans biais du milieu, ils ne sont pas aussi efficaces que le milieu de gamme de l'échantillon, i.e. la moyenne arithmétique du maximum et du minimum de l'échantillon, qui est l'estimateur sans biais de variance minimale du milieu (et aussi l'estimateur par maximum de vraisemblance).
Intervalle de confiance Pour le maximum On considère X1, X2, ..., Xn un échantillon de où L est la valeur maximum dans la population. Alors X(n) = max( X1, X2, ..., Xn ) a la densité de Lebesgue-Borel
où est la fonction caractéristique (ou indicatrice) de
L'intervalle de confiance est mathématiquement incorrect, car ne peut être résolu pour sans information sur On peut cependant résoudre pour pour tout inconnu mais valide ; on peut alors choisir le plus petit possible vérifiant la condition ci-dessus. On note que la longueur de l'intervalle dépend de la variable aléatoire
Estimation simultanée des deux paramètres Cette section décrit l'estimation des deux bornes de la distribution uniforme continue au vu d'un échantillon de individus.
Soient et les estimateurs respectifs des bornes inférieure et supérieure de la distribution mère, construits sur la base de l'échantillon contenant les modalités de la variable aléatoire issues de la distribution
La méthode du maximum de vraisemblance aboutit à la sélection des minimum et maximum empiriques :
Ce couple d'estimateurs est biaisé : la probabilité qu'un -échantillon capture le minimum ou le maximum permis par la distribution mère étant quasi-nulle, la moyenne d'un grand nombre d'observations sur de tels -échantillons ne converge pas vers les bornes de ladite distribution mère :
La démonstration est produite plus bas.
Loi de distribution régissant ces estimateurs biaisés Les densités de probabilité sont notées en minuscules (par ex. ), les fonctions de répartition sont notées en majuscules (par ex. ).
Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs biaisés
Lois marginales régissant les minimum et maximum empiriques Concernant l'estimateur de la borne inférieure
Par une démonstration similaire, on obtient pour l'estimateur de la borne supérieure :
Convergence de ces estimateurs La définition de la convergence d'un estimateur est donnée dans le document référencé .
Concernant l'estimateur de la borne inférieure ( sur un n-échantillon) : car aucune valeur inférieure à a ne peut être observée. Donc :
Une démonstration similaire s'applique pour l'estimateur de la borne supérieure.
forme donc un couple d'estimateurs convergents.
Biais de ces estimateurs Lorsque l'on multiplie les échantillons (de taille donnée), la moyenne des observations ne tend pas vers le couple de bornes de la distribution mère :
Ces deux estimateurs ne sont qu'asymptotiquement sans biais, i.e. lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.
Recherche d'estimateurs sans biais Le couple d'estimateurs défini ci-dessous est sans biais :
Le calcul de ces estimateurs (avec ou sans biais) ne nécessite pas la connaissance des paramètres de la distribution mère.
Les lois de distribution qui régissent le couple d'estimateurs sans biais sont plus complexes à déterminer. Le document donne les lois suivantes :
Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs sans biais
Lois marginales régissant chacun des deux estimateurs sans biais Sachant que la variable admet comme support l'intervalle :
Sachant que la variable admet comme support l'intervalle :
Intervalle de pari On considère ici : une loi mère uniforme donnée et connue, le couple d'estimateurs avec biais formé par le minimum et le maximum empiriques déterminés sur un -échantillon.
Les estimateurs considérés sont ceux avec biais car : leurs lois de distribution sont simples à manipuler ; le document référencé montre que construire des intervalles de pari à partir des estimateurs sans biais n'aboutit pas in fine à des intervalles plus réduits pour un niveau de confiance donné, et en explique la raison.
On cherche à connaître comment se répartissent les n-échantillons possibles formés à partir de la distribution mère , en plaçant dans le plan : sur l'axe des abscisses, la borne inférieure de la distribution mère et les minima empiriques des échantillons ; sur l'axe des ordonnées, la borne supérieure de la distribution mère et les maxima empiriques des échantillons.
On note :
alt=Zone du plan où l'on peut trouver des échantillons issus de U (a,b)|vignette|Zone du plan où l'on peut trouver des échantillons issus de U (a,b) La distribution mère et la construction des estimateurs imposent la hiérarchie suivante : Les échantillons issus de cette loi mère sont tous situés à l'intérieur du triangle rectangle formé par la droite , la droite et la première bissectrice (cf. figure ci-contre).
Un bon échantillon (i.e. un échantillon représentatif de sa population mère) se caractérise par : un minimum empirique proche de et un maximum empirique proche de Le risque de pari associé à un échantillon est défini par la probabilité de trouver un échantillon plus mauvais que lui, i.e. présentant : un minimum empirique supérieur ou égal à ou un maximum empirique inférieur ou égal à
Intervalle de pari sur le minimum empirique alt=Intervalle de pari sur le minimum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)|vignette|Intervalle de pari sur le minimum empirique d'un échantillon issu de U (a,b) L'expérimentateur choisit son risque de pari . Le risque de pari sur le minimum empirique est défini par l'équation suivante :
La surface de pari sur le minimum empirique au niveau de confiance rassemble les échantillons qui vérifient : et .
Intervalle de pari sur le maximum empirique alt=Intervalle de pari sur le maximum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)|vignette|Intervalle de pari sur le maximum empirique d'un échantillon issu de U (a,b) De façon similaire, le risque de pari sur le maximum empirique est défini par l'équation suivante :
La surface de pari sur le maximum empirique au niveau de confiance rassemble les échantillons qui vérifient : et .
Surface de pari sur les deux bornes La surface de pari est celle qui capture la proportion des échantillons formés à partir d'une population mère donnée et connue.