En logique mathématique, une logique paracohérente (aussi appelé logique paraconsistante) est un système logique qui tolère les contradictions, contrairement au système de la logique classique. Les logiques tolérantes aux incohérences sont étudiées depuis au moins 1910, avec des esquisses remontant sans doute au temps d'AristoteAristote, Métaphysique Γ, 4.. Le terme paracohérent - (à côté du cohérent, en anglais) - n'a été employé qu'après 1976 par le philosophe péruvien .
Définition
Les logiques paracohérentes se distinguent des logiques classiques par leur approche de la propriété de cohérence logique. En logique classique (mais aussi en logique intuitionniste et dans la plupart des autres logiques), la contradiction permet de déduire n'importe quelle autre formule de la logique. C'est le principe d'explosion ou (Latin, « d'une contradiction se déduit n'importe quoi »). Brièvement, le principe d'explosion est un schéma de raisonnement qui montre qu'en partant d'une contradiction logique, c'est-à-dire d'une formule de la forme P et non P, par exemple « tous les chats sont gris et tous les chats ne sont pas gris », en appliquant les règles d'inférences classiques on peut déduire n'importe quelle formule de la logique, par exemple « je suis une pomme ».
Quelle que soit la proposition A, et si la proposition P et sa négation ¬P sont supposées vraies toutes les deux, alors la proposition P ou A est vraie (d'après la définition de la disjonction), or sachant que P n'est pas vraie, il est nécessaire que A soit vraie (en utilisant l'argument du syllogisme disjonctif).
Ainsi, par le principe d'explosion, dès qu'une théorie comporte une incohérence, toute formule de cette théorie en logique classique est trivialement un théorème. La propriété caractéristique d'une logique paracohérente est de ne pas permettre ce type de raisonnement. Les logiques paracohérentes peuvent donc permettre de travailler avec des théories incohérentes mais non triviales.
Approche formelle
Comparaison à la logique classique Les logiques paracohérentes sont, du point de vue du calcul des propositions plus faibles que la logique classique ; il existe donc moins d'inférences et donc moins de théorèmes. On le démontre en considérant qu'aucune extension de la logique classique (c'est-à-dire une logique qui démontre tous les théorèmes que la logique classique peut démontrer) n'est paracohérente. En ce sens, les logiques paracohérentes sont plus prudentes dans leurs inférences. En contrepartie les langages, au sens de Alfred Tarski, paracohérents peuvent être plus expressifs, notamment en prenant en compte leur analogue classique dans la hiérarchie des métalangages créée par Alfred Tarski et al. D'après Solomon Feferman : (). Des limitations relatives à l'autoréférence, notion importante en histoire des sciences car donnant naissance à de nombreux paradoxes, peuvent être contournées dans ce type de logique.
Motivation La motivation principale au développement et à l'étude des logiques paracohérentes est la conviction qu'il est possible de raisonner en présence d'information contradictoires de manière contrôlée et discriminatoire. Le principe d'explosion l'empêche, et doit donc dans cette optique être abandonné. Dans une logique paraconsistante, il n'y a qu'une seule théorie incohérente : la théorie triviale dans laquelle toutes les formules sont des théorèmes. Les logiques paracohérentes permettent de discriminer les théories comportant des contradictions et de raisonner avec elles.
Le développement des logiques paraconsistantes a été à l'origine de l'école philosophique du dialethéisme (dont l'avocat le plus fervent est Graham Priest), qui suppose que de vraies contradictions existent réellement, par exemple des groupes de personnes tenant des points de vue différents sur des questions morales. Un dialéthéiste rationnel implique l'acceptation d'une forme de logique paracohérente, sous peine de tomber dans le trivialisme, c'est-à-dire d'accepter que toutes les contradictions, ou toutes les propositions sont vraies. L'inverse n'est cependant pas forcément vrai, et il n'est pas nécessaire de s'engager soit pour l'existence de théories vraies ou de vraies contradictions pour accepter que l'étude des logiques paracohérentes n'implique pas l'acceptation du dialéthéisme. Par exemple avec une vision empirique qui se bornerait à constater qu'empiriquement les logiques paracohérentes modélisent de manière adéquate certaines formes de raisonnement humain. C'est le cas de la notion d'adéquation empirique de Bas van Fraassen. Par exemple leur capacité à accepter des phrases paradoxales des langues naturelles comme « je mens », le paradoxe du menteur, sans problème peut être mise en parallèle avec la capacité à raisonner en langage naturel sans souci malgré la possibilité de ce type de paradoxe.
Philosophie En logique classique, la loi du tiers exclu, la loi de non contradiction et les trois lois d'Aristote (tiers exclu , non contradiction et identité ) ne peuvent être dissociées, à cause de l'interdépendance des définitions des connecteurs. De plus, traditionnellement la présence de contradiction (dans la théorie ou dans la base de connaissance) et la trivialité (le fait que n'importe quelle formule soit une conséquence de la théorie) sont supposées inséparables, à partir du moment ou la négation est définie. Ces principes peuvent être philosophiquement remis en cause, précisément parce que la contradiction et d'autres formes éventuelles d'incohérences ne peuvent être différenciées.
De l'autre côté, il est possible de retrouver la trivialité en discriminant la cohérences et les contradictions si on définit ces notions de manière appropriées. Les notions elles-mêmes peuvent être reléguées dans le langage défini par la logique.
Compromis
La paracohérence implique un compromis sur possibilité d'inférences. En particulier, interdire le principe d'explosion nécessite d'abandonner au moins l'une des pourtant très naturelles lois : introduction de la disjonctionsyllogisme disjonctifTransitivité de la déduction ou « Règle de coupure »
Bien que la remise en cause de chacun de ces principes ait été envisagée, la principale approche des paralogiciens est de rejeter le principe de syllogisme disjonctif. Pour un dialethéiste, il est parfaitement sensé que cette règle puisse faillir : l'idée qu'énonce cette règle est que si ¬ A est vrai, alors A ne peut l'être. Donc A ∨ B ne peut être vrai que si B l'est également. Cependant s'il est possible qu'A et ¬ A soient vrais en même temps, ce raisonnement ne fonctionne pas.
Une autre approche est de ne pas inclure l'introduction de la disjonction, et de garder le syllogisme disjonctif et la transitivité. La disjonction est définie comme . Toutes les règles de la déduction naturelle sont alors valides, sauf la preuve par l'absurde et l'introduction de la disjonction. De plus ne signifie pas forcément , une autre différence avec la déduction naturelleHewitt (2008b). La loi du tiers exclu est également conservée, ainsi que l'associativité, la commutativité, la distributivité, les lois de De Morgan, et l'idempotence de la conjonction et la disjonction dans les expressions booléennes. En définissant l'implication comme , il y a un théorème de déduction, le . est en faveur de cette approche, parce qu'avoir les propriétés booléennes usuelle, la déduction naturelle et le théorème de la déduction est très important dans des domaines d'application comme le génie logicielHewitt (2008a).
Une approche encore différente est de réunir les deux précédentes. Dans beaucoup de systèmes de logique pertinente, de même qu'en logique linéaire, il existe deux connecteurs différents pour la disjonction. L'un permet l'introduction de la disjonction, et l'autre le syllogisme disjonctif. Évidemment cette approche a des désavantages, comme la confusion entre les deux opérateurs et la complexité induite par le fait qu'on les relie l'un à l'autre.
Les trois principes ci-dessous, pris ensemble, ont pour conséquence le principe d'explosion, donc au moins l'un d'eux doit être abandonné :
Reductio ad absurdum
Les deux premières ont été envisagées, sans grand succès. La double négation est contestée, mais pour d'autres raisons. En l'enlevant et en conservant les deux autres, il reste parfois possible de démontrer toutes les propositions négatives à partir d'une contradiction.
Exemple d'une logique paracohérente : la logique du paradoxe
Un des systèmes logiques paracohérent le plus connus est celui connu sous le signe LP (« Logique du Paradoxe » ; en anglais «»), proposée initialement par le logicien argentin F. G. Asenjo en 1966 et popularisé par Priest et al.. LP n'est qu'une seule des nombreuses logiques paracohérentes proposéesUne revue des approches possibles peut être lue dans et dans , une large famille de ces logiques est développé dans Carnielli, Congilio et Marcos (2007).. Elle est présentée ici à titre d'exemple et d'illustration sur le fonctionnement des logiques paracohérentes.
Valuation relationnelle Une manière de présenter la sémantique de LP est de remplacer la valuation fonctionnelle de la logique classique par une valuation relationnelleOn peut aussi représenter LP comme une logique trivaluée (vrai, faux, et les deux).. La relation binaire fait correspondre une formule à une valeur de vérité : signifie que est vraie, et signifie que est fausse. Une formule doit être associée à au moins à une valeur de vérité (mais peut-être les deux valeurs 0 ou 1). Les clauses sémantiques de la négation et la disjonction sont alors définie comme : si et seulement si si seulement si si seulement si ou si seulement si et si seulement si et si seulement si ou
Sémantique La relation de conséquence logique est alors définie comme préservation de la vérité : si et seulement si est vraie quand chaque membre de est vrai.
Regardons maintenant l'affectation telle que et mais sans . Il est aisé de vérifier que cette affectation est un contre exemple à la fois de l'explosion et du syllogisme disjonctif. Cependant c'est aussi un contre-exemple du modus ponens pour l'implication logique de LP. Pour cette raison, les partisans de LP considèrent qu'il vaut mieux étendre le système pour y inclure un connecteur d'implication plus fort qui n'est pas définissable en utilisant juste la négation et la disjonction. contrairement à l'implication classique.
On peut vérifier que LP préserve la plupart des autres schémas d'inférences valides qu'on pourrait souhaiter, comme les lois de De Morgan et les règles de la déduction naturelle pour l'introduction et l'élimination de la négation, la conjonction et la disjonction. De manière surprenante, les vérités (les tautologies) de LP sont exactement celles de la logique classique.. LP et la logique classique diffèrent seulement dans le choix des inférences qu'elles considèrent valides). En relâchant le prérequis que chaque formule soit vraie, soit fausse, donne la logique para-cohérente connue sous le nom de FDE ( (déduction de premier degré)). Contrairement à LP, FDE ne contient pas de tautologie.
Relations avec d'autres logiques
L'un des types importants de logique paracohérente est celui des logiques pertinentes. Une logique est dite pertinente si elle satisfait la propriété suivante:
Il suit qu'une logique pertinente ne peut pas avoir un théorème de la forme (p ∧ ¬p) → q, et donc sous des hypothèses raisonnables ne peut pas valider de raisonnement qui à partir de {p, ¬p} démontre q.
Les logiques paracohérentes recoupent en large manière les logiques à valeur multiples ; cependant toutes les logiques paracohérentes ne sont pas à valeur multiples, (et, bien sur, toutes les logiques à valeur multiples ne sont pas paracohérentes). Les logiques dialethéistes, qui sont des logiques à valeur multiples, sont paracohérentes. Mais l'inverse n'est pas vrai.