vignette|350 px|La triangulation des Cassini dans la salle de la Méridienne à l'Observatoire de Paris. Une méridienne est un arc de méridien déterminé par triangulation géodésique et mesures astronomiques. Une de ses finalités premières est de déterminer la grandeur d'un degré de latitude, en un lieu, pour « mesurer la TerreTitre de l'ouvrage de géodésie de ».
La détermination, à l'origine, de la grandeur d'un arc de méridien passe par trois phases qui sont : la triangulation sur une zone géographique retenue ; la recherche de la direction du méridien en un des lieux triangulés, suivie de la projection des triangles sur cette méridienne ; la détermination de la différence de latitude des points extrêmes de la triangulation pour en déduire un degré de méridien. La recherche géodésique des dimensions de la Terre date du début du . Elle donne lieu à de nombreuses méridiennes fondamentales, jusqu'à la fin du , pour valider ou non certaines hypothèses sur la forme de la Terre.
Conjointement à la mesure de la Terre, les méridiennes vont servir, le plus souvent, au développement d'un maillage de triangulations secondaires pour une nouvelle cartographie géométrique, telle la carte de France des Cassini.
Détermination d'une méridienne Triangulation vignette|300 px|Triangulation et méridienne. Le principe de triangulation d'une méridienne s'appuie sur la triangulation élémentaire (voir figure) : à partir d'un premier triangle-plan ABC, dont on mesure un côté - la base AB - et les anglesEn mathématique, les deux angles adjacents au côté connu sont suffisants pour déterminer entièrement le triangle, on peut, trigonométriquement, déterminer les deux autres côtés. Ce premier triangle défini, on détermine, à partir de l'un de ses côtés (ici BC), un deuxième triangle adjacent BCD et, de proche en proche, un réseau de triangles dont les sommets sur le terrain, sont situés, au mieux, de part et d'autre de l'arc de méridien à mesurer.
Mesure de la base vignette|gauche|Mesure d'une base à la perche. La base est choisie sur un terrain le plus plat possible et de longueur maximum. La mesure s'effectue avec des perches mises bout à bout, sur toute la longueur de la base.
Optimisation : La base doit être la plus longue possible (plusieurs kilomètres) pour accroitre la précision des calculs de triangulation ; les perches, dont la fabrication va évoluer au cours des se doivent d'être d'une longueur rattachée à un étalon de référence. Pour éviter les incertitudes d'une mesure unique, plusieurs mesurages, indépendants et menés en parallèle sont souhaitables.
Mesure des triangles vignette|gauche|Triangulation au quart de cercle. L'instrument de mesure des angles, pendant les deux siècles concernés, est principalement le quart de cercle mobile. Il va évoluer et son exactitude ira en s'améliorant.
Optimisation : Le triangle idéal est le triangle équilatéral (3 angles à 60°) ; les triangles avec un angle aigu sont à bannir, les erreurs engendrées sur les longueurs étant très importantes. Les mesures de chaque angle doivent être au minimum doublées pour réduire l'incertitude angulaire. Les propriétés des triangles et des polygones sont à exploiter au maximum : les trois angles d'un triangle font 180°, il est intéressant de mesurer chacun des trois angles et de comparer leur somme aux 180° théoriques ; en un sommet particulier, il est souhaitable de faire un tour d'horizon de tous les angles balayés, la somme devant faire 360°Dans la pratique des mesures, les écarts angulaires entre le théorique et le mesuré sont répartis au mieux suivant les décisions des responsables des mesures. ; la chaîne de triangles forme un polygone à n côtés. La somme des angles de ce polygone est de 180 (n-2) degrés. Soit pour la figure un nonagone (9 côtés) dont la somme des angles doit valoir 180 x 7 = 1260° il est parfois nécessaire de tracer des liaisons supplémentaires entre sommets pour vérifier certains angles sur lesquels il peut y avoir doute (par exemple DG). « Pour s'assurer de l'exactitude des résultats obtenus, on mesure un côté des derniers triangles qui devient une base de vérification». Sur la figure, HI pourrait être théoriquement une base de vérification, mais, bien souvent, le terrain ne se prête guère à l'opération.
Pour finir, si les différents plans des relevés angulaires ne sont pas horizontaux, il est souhaitable de projeter ou « réduire » les triangles dans un plan horizontal.
Recherche d'un méridien de référence vignette|118 px|gauche|Quart de cercle de Picard En un point choisi de la triangulation (ici, au point extrême en I), on va déterminer la direction du méridien par des méthodes astronomiques connues. L'instrument privilégié reste toujours le quart de cercle.
Parmi les méthodes astronomiques employées, on peut citer : la méthode basée sur la mesure des hauteurs correspondantes d'un astre (soleil, étoile) ; une méthode liée à l'observation de la Polaire à sa plus grande digression.
La matérialisation de la méridienne sur le terrain est réalisée par des mires éloignées du point de mesure. Elles vont permettre de mesurer l'angle d'azimut d'un côté du dernier triangle de la chaîne (ici α = HI-X1X2).
Il restera ensuite à projeter trigonométriquement la triangulation sur la méridienne, ce qui donnera la longueur de l'arc de la méridienne X1X2.
Détermination d'un degré de latitude vignette|120 px|gauche|Secteur de Picard vignette|Mesure d'une différence de latitude.
On mesure, aux deux points extrêmes de la triangulation A et I, la distance zénithale d'une étoile connue. Le mesurage s'effectue avec un secteur qui est un instrument adapté à l'opération. La différence entre les deux mesures donnera la différence de latitude entre les deux points.
Optimisation : La mesure de la différence des latitudes doit être très exacte ; c'est le facteur primordial d'un bon résultat. C'est pour cela que le secteur est un instrument de grand rayon, avec une bonne résolution. Pour réduire encore l'incertitude de mesurage, il est souhaitable d'effectuer, à chaque station (A et I), des mesures par retournement de l'instrument. Il est aussi nécessaire d'effectuer les mesures aux deux extrémités dans des temps très rapprochés ; ceci pour éviter les effets de l'aberration, phénomène découvert par Bradley, vers les années 1730.
À ce stade, il ne reste plus qu'à calculer la longueur d'un degré de méridien en divisant la longueur de l'arc projeté par l'angle correspondant à la différence des latitudes concernées ; une référence parmi d'autres : ..
Pour conclure, dans la réalité des mesurages, des éléments extérieurs vont faire que l'optimisation est plus ou moins respectée. Les principaux points de non-respect et leurs conséquences seront précisés, si possible, pour chaque méridienne étudiée.
La méridienne de Snellius Au , la Terre est supposée sphérique et, c'est en 1614 que Snellius mesure, pour la première fois par triangulation, un arc de méridien. aux Pays-Bas, entre Alkmaar et Berg op Zoom, d'après , essentiellement dans un but cartographique. Son instrument principal est un quart de cercle mobile ; il est à alidade et pinnules, et sa résolution est d'une minute de degré.
Triangulation auxiliaire vignette|300 px|Localisation de la triangulation principale simplifiée de Snellius.vignette|gauche|300 px|Zoom sur la triangulation auxiliaire de Snellius. vignette|300 px|Triangulation principale d'après J. Cassini, 1718.
Dans un premier temps, Snellius effectue une triangulation auxiliaire (voir zoom) dont la finalité est de calculer une pseudo-base - non mesurée - de Leyde à La Haye, pour sa triangulation principale.
Cette triangulation auxiliaire est composée de 14 triangles. Entre Leyde et Zoeterwoude, il mesure une base tc = 85,05 perches (319,8 m)Une perche vaut 12 pieds du Rhin ; un pied du Rhin vaut ≈ 31,35 cm (après correction de La Caille sur une valeur donnée par Picard), et une perche p ≈ 3,76 m - d'après Levallois, op.cit. et 58.. Par triangulation, il calcule et mesure ensuite une première base de vérification ae ; par le calcul, il trouve ae = 326,43 p, et plusieurs mesurages lui donnent une valeur moyenne de 326,90 p. Il est précisé ici que la base « fut mesurée avec une chaîne et vérifiée avec une règle en bois » ; on peut supposer que la base initiale tc a été mesurée de la même façon.. Il s'en tient à la valeur calculée « et l'erreur sur ae est déjà d'une demi-perche environ, ou 1/600.» Partant de cette nouvelle base, il calcule la distance entre Leyde et Zoeterwoude LZ = 1092,33 p, puis de proche en proche, il parvient à déterminer la distance de Wassenaar à Voorschoten qu'il vérifie par la mesure d'une nouvelle base ai qui correspond au calcul au centième de perche prèsLes bases de vérification ae et ai sont des transversales pour optimiser les angles des triangles les concernant. Il termine par la distance Leyde - La Haye LH = 4103,36 p, qu'il vérifie à 0,15 p près par un triangle auxiliaire LHZ.
Triangulation principale vignette|gauche|Pied du Rhin-étalon et peut-être aussi perche-étalon à Leyde.
LH va servir de référence à la mesure du degré dans la triangulation principale. À ce stade de la description volontairement détaillée, Delambre ; voir aussi . précise que les angles sont souvent petits et que seuls deux angles sur trois sont mesurés. Pour conclure il ajoute « Il faut avouer que ces préliminaires sont un peu entortillés, et les bases bien petites ; mais du moins l'auteur a eu soin de donner plusieurs vérifications, qui diminueront un peu l'incertitudeLes citations sont de Delambre, dans la référence citée.. »
La triangulation principale est effectuée au quart de cercle ou avec un demi-cercle (graphomètre ?) de 3,5 pieds de diamètre (55 cm de rayon) dont on ne connait pas la division. Elle comporte une quinzaine de triangles essentiels et une autre quinzaine qui servent à la vérification et à la simplification des calculs effectués sans table de logarithmes. Seuls 10 triangles sont mesurés sur les trois angles. Les 180° de ces 10 triangles varient entre -1° et 4°. La longueur moyenne des côtés des triangles principaux vaut environ 29 km.
« Pour orienter son réseau, Snellius trace une méridienne à Leyde, et il observe, sans en donner la méthode, l'azimut de Gouda ; [il en déduit l'angle de la méridienne avec] Leyde-Alkmaar, soit φ-Leyde-Alkmaar = . » Ses triangles, réduits sur la méridienne donnent un arc de .
Pour terminer, Snellius mesure la hauteur du pôle, avec un quart de cercle de 5,5 pieds de rayon (≈ 1,7 m) à Leyde et aux extrémités de sa triangulation ; il en déduit l'amplitude de l'arc de méridien : . Il ne lui reste plus qu'à déterminer l'amplitude du degré : perches ; il s'arrêtera à perches du Rhin, soit À titre indicatif, le diamètre classique de la Terre, supposée sphérique, est de , soit un degré de ., pour tout ce qui concerne la triangulation principale..
Snellius reprendra ses calculs par deux fois ; puis près d'un siècle après, Musschenbroek corrigera certains calculs, notamment sur la hauteur du pôle aux extrémités. Il en conclut une amplitude de l'arc de méridien de d'où une valeur du degré terrestre de perches du Rhin, soit .
Delambre souligne cette différence d'amplitude () et constate que la principale erreur de Snellius provenait des relevés des latitudes « et que les erreurs géodésiques étaient peu de choses en comparaison ».. Après quelques reproches : « avoir si souvent conclu le troisième angle [de ses triangles], avoir mêlé à des triangles bien conditionnés des triangles trop obtus, et surtout avoir employé de trop petites bases », Delambre reconnait la qualité des travaux de Snellius : « si l'on songe qu'il n'avait que des pinnules, on concevra une idée assez favorable de ses instruments et de sa manière d'observer… ».
La méridienne de Picard