En mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de décrire l'algèbre linéaire sur un anneau, en lui associant une famille de groupes abéliens. Plus précisément, il s'agit de réaliser une construction analogue à une théorie homologique pour les anneaux, par une suite de foncteurs de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Cette construction puise ses inspirations dans l'énoncé par Alexandre Grothendieck du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Ses fondements sont définitivement établis par Daniel Quillen en , qui s'inspire de la théorie pré-existante de la K-théorie topologique.
Les trois premiers K-groupes , et sont souvent considérés en des termes un peu différents des suivants. Ils peuvent être décrits plus élémentairement, tout en ayant de nombreuses applications en topologie algébrique, en géométrie arithmétique et en théorie algébrique des nombres. La théorie des K-groupes supérieurs est plus profonde et ces groupes sont plus difficiles à calculer. Cette difficulté s'illustre par exemple dans le cas élémentaire de l'anneau des entiers, où ils ne sont pas entièrement connus.
Le groupe abélien d'un anneau généralise la construction du groupe des classes d'idéaux d'un anneau de Dedekind, par l'intermédiaire des -modules projectifs. Il est construit dans les années et . Il est relié à beaucoup d'autres problèmes algébriques classiques, notamment la « conjecture de Serre » sur les modules projectifs, résolue indépendamment par Daniel Quillen et Andrei Suslin en . Le groupe contient également d'autres invariants, comme l'.
Le groupe est une modification du groupe des unités de , construit à partir des matrices élémentaires. Son utilisation est importante en topologie, en particulier lorsque l'anneau est un anneau de groupe, puisqu'il contient la , un élément d'un certain groupe quotient, le , utilisé en théorie du type simple d'homotopie et de la chirurgie.
À partir des années , la K-théorie algébrique trouve un nombre croissant d'applications en géométrie algébrique. La cohomologie motivique lui est par exemple intimement liée. Elle est également fondamentale en théorie algébrique des nombres, en lien avec les valeurs spéciales de fonctions L, notamment à travers les et de .
Histoire
alt=Notes manuscrites d'Alexandre Grothendieck rédigées en allemand, commentant l'énoncé du théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch. L'énoncé du théorème est souligné par des flammes et est entouré par deux dessins de diablotins armés de fourches.|vignette|Commentaire de Alexandre Grothendieck sur le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, où apparaissent les premiers K-groupes. Dans les années 1950, Alexandre Grothendieck souhaite établir un cadre satisfaisant pour généraliser le théorème de Riemann-Roch en géométrie algébrique, généralisation maintenant connue sous le nom de théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch. Grothendieck est alors le premier à donner la définition du groupe aujourd'hui connu comme le K-groupe d'indice zéro d'une variété algébrique et à suggérer l'existence d'une théorie plus riche. Il choisit la lettre K pour l'allemand Klasse ( en français), la lettre C étant déjà régulièrement utilisée pour désigner divers concepts mathématiques.
Quelques années plus tard, Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch s'en inspirent pour en construire un analogue, la . Ils exhibent d'abord le K-groupe d'indice zéro topologique, avant de construire les K-groupes topologique d'indices supérieurs. À partir de 1959, Atiyah, Hirzebruch et Frank Adams découvrent de nombreuses applications des K-groupes topologiques, en particulier en chirurgie des variétés. Un peu plus tard, le développement d'une branche de la théorie des algèbres d'opérateurs donne naissance à la et à la .
En parallèle, le pendant algébrique de la K-théorie s'avère plus long à développer. Jean-Pierre Serre, s'inspirant de résultats topologiques sur les fibrés vectoriels, conjecture la structure des modules projectifs sur certains anneaux de polynômes. Ses travaux motivent la recherche d'un équivalent algébrique à la K-théorie topologique, par analogie entre les fibrés vectoriels et les modules projectifs. En 1961, John Milnor définit à l'aide des travaux de J. H. C. Whitehead un groupe qui sera identifié par Hyman Bass et Stephen Schanuel comme le K-groupe d'indice un d'un anneau. Utilisant les travaux de Steinberg sur les extensions centrales universelles des groupes algébriques classiques, Milnor définit ensuite le K-groupe d'indice deux. Les travaux d'Hideya Matsumoto permettent d'en donner une description explicite dans le cas d'un corps.
Les différents avatars en géométrie algébrique, en topologie algébrique, en analyse fonctionnelle et en algèbre de la K-théorie possèdent alors différentes définitions, à première vue non équivalentes. De surcroît, une définition des K-groupes algébrique supérieurs est toujours manquante. Ces difficultés pour établir des fondements rigoureux de la K-théorie algébrique finissent par êtres résolues par Daniel Quillen., laissant une théorie profonde et difficile. Quillen donne plusieurs définitions équivalentes des groupes de K-théorie supérieurs pour tout entier naturel n, via sa construction et sa construction .
Il devient également clair que la K-théorie a un rôle à jouer en géométrie algébrique, dans la théorie des cycles (conjecture de Gersten).. Les groupes de K-théorie supérieurs y sont en effet reliés aux phénomènes survenant en codimensions supérieures, qui sont les plus difficiles à appréhender.
Premiers groupes de K-théorie Les K-groupes d'indice 0 et 1 sont les premiers à être découverts, sous diverses descriptions , qui restent utiles. Le K-groupe d'indice 2 a été introduit plus tard par Milnor, via une définition elle aussi relativement élémentaire. Dans toute la suite, désigne un anneau unifère.
Groupe K0 L'ensemble des classes d'isomorphisme des -modules projectifs de type fini, muni de la somme directe, forme un monoïde. On définit comme le groupe de Grothendieck de ce monoïde.
Une variante géométrico-algébrique de cette construction s'applique à la catégorie des variétés algébriques. On associe à une variété algébrique le K-groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux localement libres (ou des faisceaux cohérents) sur . Cette construction généralise la précédente, à condition de remplacer un anneau par son spectre.
Exemples Dans le cas où est un corps , les -modules sont exactement les -espaces vectoriels et sont tous libres (et donc projectifs). Le monoïde est donc isomorphe à , via l'application dimension, et . Plus généralement, les modules projectifs sur un anneau local sont libres et , par l'application rang.. Si A est un anneau de Dedekind, alors , où désigne le groupe des classes de . D'un point de vue géométrique, ceci se reformule en , où est le groupe de Picard de .. Pour tout espace topologique compact, le K-groupe topologique d'indice zéro des fibrés vectoriels réels sur X coïncide avec le K-groupe algébrique de l'anneau des fonctions continues de dans , Theorem I.6.18..
Fonctorialité Cette construction est fonctorielle, puisque tout morphisme d'anneaux induit un morphisme de groupes , qui envoie la classe d'un -module projectif et de type fini sur le produit tensoriel . En d'autres termes, est un foncteur covariant de la catégorie des anneaux vers la catégorie des groupes abéliens.
Constructions homologiques On peut étendre la définition de K à un anneau B non nécessairement unifère en considérant son unitarisé A = B et le morphisme canonique d'anneaux unifères A → ℤ. On définit alors K(B) comme le noyau du morphisme K(A) → K(ℤ) = ℤ correspondant..
De nombreuses constructions usuelles de l'algèbre homologique s'appliquent au groupe .
Si l'anneau est commutatif, on peut définir dans le sous-groupeoù l'intersection décrit les idéaux premiers de et avec l'application qui à la classe de associe le rang du -module libre , où désigne le localisé de en . Le sous-groupe est appelé la K-théorie réduite d'indice de . Dans le cas où est un anneau de Dedekind, on calcule par exemple . Soit un idéal de . On définit le « double » associé comme le sous-anneau suivant de l'anneau produit .,puis le K-groupe relatif,où l'application est induite par la projection sur le premier facteur. Le K-groupe relatif est isomorphe à , où est vu comme un anneau sans unité. L'indépendance de de cette construction est un analogue du théorème d'excision en homologie.
L'anneau K Si l'anneau est commutatif, alors le produit tensoriel de deux modules projectifs est encore projectif, ce qui induit une multiplication faisant de un anneau commutatif, avec la classe de comme neutre multiplicatif. Le groupe de Picard se plonge dans le groupe des unités de .. De même, le produit extérieur induit une structure de sur .
Groupe K1
À partir des travaux de John Milnor sur la , Hyman Bass et Stephen Schanuel donnent la définition suivante pour , qui généralise celle du groupe des unités d'un anneau. Le groupe est l'abélianisé du groupe général linéaire infini,
D'après le lemme de Whitehead, le groupe dérivé coïncide avec le sous-groupe parfait engendré par les matrices élémentaires. Le groupe , d'abord défini et étudié par Whitehead., est appelé le groupe de Whitehead de l'anneau A.
Constructions homologiques Soit un idéal de . Le K-groupe relatif est défini en termes du « double »., déjà utilisé pour construire le K-groupe relatif :
Il s'insère dans la suite exacte. :
Anneaux commutatifs Si l'anneau A est commutatif, on peut définir un morphisme déterminant, de GL(A) dans le groupe A des unités de A. Cette application s'annule sur E(A) donc passe au quotient et définit un morphisme det : K(A) → A, dont le noyau est le groupe de Whitehead spécial SK(A) := SL(A)/E(A). On obtient même une suite exacte courte scindée à droitequotient de celle,dont une section A → GL(A) est donnée par l'inclusion de A = GL(1, A) dans GL(A).
Ainsi, K(A) se décompose en la somme directe du groupe des unités et du groupe de Whitehead spécial : K(A) ≃ A ⊕ SK(A).
Si A est un anneau euclidien. (par exemple un corps commutatif, ou l'anneau des entiers) ou semi-local. Pour un anneau semi-local A non commutatif, sauf exceptions répertoriées, K(A) est isomorphe à l'abélianisé de A : ., alors le groupe SK(A) est trivial et le déterminant est un isomorphisme de K(A) dans A. C'est faux pour un anneau principal quelconque, ce qui fournit l'une des rares propriétés des anneaux euclidiens ne se généralisant pas aux anneaux principaux. Des contre-exemples ont été donnés par Bass en 1972., puis par Ischebeck en 1980..
SK(A) est également trivial si A est un sous-anneau de Dedekind d'un corps de nombres..
La trivialité de SK peut s'interpréter en disant que K est engendré par l'image de GL. Lorsque ce n'est pas le cas, on peut chercher si K est engendré par l'image de GL. C'est vrai pour un anneau de Dedekind, K étant alors engendré par les images de GL et SL.. On peut étudier le sous-groupe de SK engendré par SL en faisant intervenir les . Pour un anneau de Dedekind dont tous les quotients par les idéaux maximaux sont finis, SK est un groupe de torsion..
Pour un anneau non commutatif, le morphisme déterminant n'est pas défini en général, mais l'application GL(A) → K(A) en est un substitut.
Algèbres centrales simples Si A est une algèbre centrale simple sur un corps F, la norme réduite fournit une généralisation du déterminant, donnant une application K(A) → F*, et l'on peut définir SK(A) comme son noyau. a démontré que si le degré de A est premier alors SK(A) est trivial.. Wang a aussi prouvé que SK est trivial pour toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres.. Vladimir Platonov a donné des exemples, pour tout nombre premier p, d'algèbres de degré p dont le SK n'est pas trivial, Soviet Math. Dokl., vol. 16, 1975, ..
Groupe K2