thumb|500px|1024 villes qui suivent exactement Loi de Zipf, ce qui implique que la plus grande ville a une taille de 1, la deuxième plus grande ville a une taille de 1/2, la troisième plus grande ville a une taille de 1/3, ... et la plus petite ville a une taille de 1/1024. Le motif de gauche est produit par des ruptures tête/queue, tandis que celui de droite est produit par des ruptures naturelles, également connues sous le nom d'.
Les ruptures tête/queue sont un algorithme partitionnement de données avec loi de probabilité à queue lourde, telles que les lois de puissance et loi log-normale. La distribution à longue traîne peut simplement être décrite comme un modèle d'échelle où il y a beaucoup plus de petites choses que de grandes, ou alternativement de nombreux éléments très petits, quelques-uns très grands, et certains entre les plus petits et les plus grands. La classification se fait en divisant les éléments en grands (ou appelés la tête) et petits (ou appelés la queue) autour de la moyenne arithmétique, puis en poursuivant récursivement le processus de division pour les grands éléments ou la tête jusqu'à ce que la notion de beaucoup plus de petits éléments que de grands ne soit plus valide, ou avec des éléments plus ou moins similaires restants uniquementJiang, Bin (2013). "Head/Tail Breaks : Un nouveau schéma de classification pour les données avec une distribution à queue lourde". The Professional Geographer. 65 (3) : 482–494. arXiv :1209.2801. Bibcode :2013ProfG..65..482J. . S2CID 119297992.. Les ruptures tête/queue ne servent pas seulement à la classification, mais aussi à la visualisation des grandes données en conservant la tête, puisque la tête est auto-similaire à l'ensemble. Les ruptures tête/queue peuvent être appliquées non seulement aux données vectorielles telles que les points, les lignes et les polygones, mais aussi aux données raster comme le modèle numérique d'élévation (DEM). Motivation
Les ruptures tête/queue sont motivées par l'incapacité des méthodes de classification conventionnelles telles que les intervalles égaux, les quantiles, les progressions géométriques, l'écart type et les ruptures naturelles - communément connues sous le nom d' ou de K-moyennes à révéler l'échelle sous-jacente ou la structure vivante avec la hiérarchie inhérente (ou hétérogénéité) caractérisée par la notion récurrente de bien plus de petites choses que de grandesMac Carron, P.; Kaski, K.; Dunbar, R. (2016-10-01). "Calling Dunbar's numbers". Social Networks. 47 : 151–155. arXiv :1604.02400. . . S2CID 14417148.Lux, Marian; Rinderle-Ma, Stefanie (2023-01-25). "DDCAL : Distribution uniforme de données en clusters de faible variance basée sur la mise à l'échelle itérative des caractéristiques". Journal of Classification. 40 (1) : 106–144. . . . .. Notez que la notion de bien plus de petites choses que de grandes n'est pas seulement liée à la propriété géométrique, mais aussi aux propriétés topologiques et sémantiques. Dans ce contexte, la notion devrait être interprétée comme beaucoup plus de choses impopulaires (ou moins connectées) que de choses populaires (ou bien connectées), ou beaucoup plus de choses insignifiantes que de choses significatives. Les ruptures tête/queue utilisent la moyenne pour dichotomiser un ensemble de données en valeurs petites et grandes, plutôt que de caractériser les classes par des valeurs moyennes, ce qui est différent du clustering k-means ou des ruptures naturelles. Grâce aux ruptures tête/queue, un ensemble de données est perçu comme une structure vivante avec une hiérarchie inhérente, avec beaucoup plus de petits que de grands, ou perçu de manière récursive comme la tête de la tête de la tête, et ainsi de suite. Cela ouvre de nouvelles perspectives pour analyser les données d'un point de vue holistique et organique tout en tenant compte des différents types d'échelles et de la mise à l'échelle dans l'analyse spatialeOshan, Taylor M.; Wolf, Levi J.; Sachdeva, Mehak; Bardin, Sarah; Fotheringham, A. Stewart (2022-06-09). "Examen des multiples échelles dans l'analyse spatiale". Journal of Geographical Systems. 24 (3) : 293–324. . . . S2CID 246957819..
Méthode Étant donné une variable qui présente une distribution à queue épaisse, il y a beaucoup plus de petits que de grands. Prenez la moyenne de tous les , et obtenez la première moyenne . Ensuite, calculez la deuxième moyenne pour ceux supérieurs à , et obtenez . De la même manière récursive, nous pouvons obtenir en fonction de la condition de fin de ne plus avoir beaucoup plus de petits x que de grands. Pour simplifier, nous supposons qu'il y a trois moyennes, , et . Cette classification conduit à quatre classes : . En général, cela peut être représenté comme une fonction récursive comme suit : thumb|405x405px|Une illustration de la classification des ruptures tête/queue avec 10 nombres
Fonction récursive Coupures tête/queue: Classez les valeurs des données d'entrée du plus grand au plus petit; Calculez la valeur moyenne des données. Divisez les données (autour de la moyenne) en tête et en queue ; // la tête pour les valeurs de données supérieures à la moyenne // la queue pour les valeurs de données inférieures à la moyenne Si (longueur(tête)/longueur(données) <=40%): Coupures tête/queue(tête); Fin de fonction
Le nombre de classes résultant est appelé ht-index, un indice alternatif à la Dimension fractale pour caractériser la complexité des fractales ou des caractéristiques géographiques : plus l'ht-index est élevé, plus les fractales sont complexesJiang, Bin; Yin, Junjun (2014). "Indice Ht pour quantifier la structure fractale ou de mise à l'échelle des caractéristiques géographiques". Annals of the Association of American Geographers. 104 (3) : 530–540. arXiv :1305.0883. . S2CID 62816469.. Seuil ou sa sensibilité Le critère pour arrêter le processus de classification itératif en utilisant la méthode des ruptures tête/queue est que les données restantes (c'est-à-dire la partie tête) ne soient pas à queue lourde, ou simplement, que la partie tête ne soit plus une minorité (c'est-à-dire que la proportion de la partie tête ne soit plus inférieure à un seuil tel que 40%). Ce seuil est suggéré à 40 % par Jiang (2013)Jiang, Bin; Liu, Xintao; Jia, Tao (2013). "La mise à l'échelle de l'espace géographique comme règle universelle pour la généralisation cartographique". Annals of the Association of American Geographers. 103 (4) : 844–855. arXiv :1102.1561. . S2CID 119257295., tout comme les codes ci-dessus (c'est-à-dire (longueur/tête)/longueur(données) ≤ 40 %). Ce processus est appelé head/tail breaks 1.0. Mais parfois, un seuil plus élevé, par exemple 50 % ou plus, peut être utilisé, comme l'ont noté Jiang et Yin (2014) dans un autre article : "cette condition peut être assouplie pour de nombreuses caractéristiques géographiques, comme 50 pour cent ou même plus". Cependant, le pourcentage moyen de toutes les têtes doit être inférieur à 40 % (ou 41, 42 %), ce qui indique beaucoup plus de petites choses que de grandes. De nombreuses données du monde réel ne peuvent pas être ajustées à une distribution à longue traîne parfaite, par conséquent, son seuil peut être assoupli structurellement. Dans les ruptures tête/queue 2.0, le seuil ne s'applique qu'au pourcentage global des têtesJiang, Bin (2019). "Une définition récursive de la qualité de l'espace pour relier les concepts d'espace et de lieu pour la durabilité". Sustainability. 11 (15) : 4091. arXiv :1909.01073. . S2CID 199374168..Cela signifie que les pourcentages de toutes les têtes par rapport aux queues devraient être d'environ 40 % en moyenne. Les classes individuelles peuvent avoir n'importe quel pourcentage réparti autour de la moyenne, tant que cela s'équilibre dans l'ensemble. Par exemple, si les données sont distribuées de manière à avoir une tête et une queue clairement définies lors de la première et de la deuxième itération (longueur(tête)/(longueur(données)<20%) mais une distribution à longue traîne beaucoup moins bien définie pour la troisième itération (60% dans la tête), head/tail breaks 2.0 permet à l'itération de continuer jusqu'à la quatrième itération qui peut être distribuée 30% tête - 70% queue à nouveau, et ainsi de suite. Tant que le seuil global n'est pas dépassé, la classification des ruptures tête/queue reste valable. Graphique de rang-taille et indice RA Un bon outil pour afficher le modèle d'échelle, ou la distribution à queue épaisse, est le graphique rang-taille, qui est un nuage de points pour afficher un ensemble de valeurs selon leurs rangs. Avec cet outil, un nouvel indice appelé le ratio des aires (RA) dans un graphique de rang-taille a été défini pour caractériser le modèle de mise à l'échelle. L'indice RA a été utilisé avec succès pour l'estimation des conditions de circulation. Cependant, l'indice RA ne peut être utilisé qu'en tant que méthode complémentaire à l'indice ht, car il est inefficace pour capturer la structure de mise à l'échelle des caractéristiques géographiques. Autres indices basés sur les ruptures tête/queue En plus de l'indice ht, les indices suivants sont également dérivés avec les ruptures tête/queue. CRG-index. Il a été développé comme un ht-index plus sensible pour capturer les légers changements des caractéristiques géographiques. Contrairement à l'ht-index, qui est un entier, l'indice CRG est un nombre réel. Mesures unifiées. Deux métriques unifiées (UM1 et UM2) ont été proposées dans un article de l'AAAG pour caractériser la nature fractale des caractéristiques géographiques. L'un peut être utilisé pour répondre à la question « Je sais qu'il y a beaucoup plus de petites choses que de grandes, mais combien ces petites (ou grandes) choses sont-elles petites (ou grandes) ? », tandis que l'autre pour répondre à « Je sais qu'il y a beaucoup plus de petites choses que de grandes, mais combien de plus ? » Fht-index : C'est un indice ht fractionnaire, capable de capturer une hiérarchie fractionnaire.L'indice fht pourrait être utile pour créer une échelle intermédiaire entre deux échelles cartographiques consécutives, menant à ce que l'on appelle des échelles cartographiques continues.
Applications Au lieu de choses plus ou moins similaires, il y a beaucoup plus de petites choses que de grandes qui nous entourent. Étant donné l'omniprésence du modèle d'échelle, les ruptures tête/queue se révèlent utiles pour la cartographie statistique, la généralisation de cartes, la cartographie cognitive et même la perception de la beauté. Cela aide à visualiser les grandes données, car les grandes données sont susceptibles de montrer la propriété d'échelle de bien plus de petites choses que de grandes. Essentiellement, les phénomènes géographiques peuvent être à échelle ou sans échelle. Les phénomènes à échelle définie peuvent être expliqués par des opérations mathématiques ou géographiques conventionnelles, mais les phénomènes sans échelle ne le peuvent pas. Les ruptures tête/queue peuvent être utilisées pour caractériser les phénomènes sans échelle, qui sont majoritaires.La stratégie de visualisation consiste à supprimer récursivement les parties de la queue jusqu'à ce que les parties de la tête soient claires ou suffisamment visibles. De plus, cela aide à délimiter les villes ou les villes naturelles de manière plus précise à partir de diverses informations géographiques telles que les réseaux de rues, les données de géolocalisation des réseaux sociaux et les images nocturnes. Caractériser le déséquilibre