Jean-Marc Fontaine, né le à Boulogne-Billancourt et mort le à Paris, est un mathématicien français, spécialiste de géométrie algébrique et de théorie des nombres.

Biographie Ancien élève de l'École polytechnique, Jean-Marc Fontaine est chercheur au CNRS entre 1965 et 1971 et soutient un doctorat d'État en 1972 sous la direction de Jean-Pierre Serre...

Il est chargé d'enseignement en 1971-72 à l'université Paris VI, puis enseigne de 1972 à 1988 à l'université de Grenoble, d'abord comme maître de conférences, puis comme professeur. À partir de 1989, il est professeur à l’université Paris-Sud à Orsay, émérite depuis 2010.

Il est le fils du journaliste André Fontaine.

Il meurt d'un cancer de l'estomac le , 6 jours après le décès de Jean-Pierre Wintenberger, un de ses premiers doctorants.

Travaux

Jean-Marc Fontaine est un arithméticien avec des contributions principalement en géométrie arithmétique et, plus spécifiquement, en théorie de Hodge -adique. Il a beaucoup étudié les représentations, sur des corps -adiques, des groupes de Galois des corps locaux (extensions finies de ) et globaux (extensions finies de ). On lui doit un programme (programme de Fontaine ou théorie de Fontaine) de classification des représentations du groupe de Galois d'un corps local et une description des représentations de ces groupes de Galois fournies par la cohomologie des variétés algébriques sur les corps locaux (conjectures , , ) ou globaux (conjecture de Fontaine-Mazur). La théorie de Fontaine est l'outil le plus puissant dont on dispose pour étudier les propriétés fines des représentations des groupes de Galois des corps globaux.; elle intervient de manière cruciale dans tous les progrès en direction de la correspondance de Langlands (dans le sens Galois vers automorphe, le plus difficile) depuis les travaux d'Andrew Wiles sur le théorème de Fermat. Plus récemment, en collaboration avec Laurent Fargues, il a donné un point de vue plus géométrique sur son programme, en en décrivant tous les objets en termes de fibrés sur une courbe aux propriétés surprenantes (la courbe de Fargues-Fontaine).

Ses principales contributions à son programme sont les suivantes : une classificationGroupes -divisibles sur les corps locaux. Astérisque 47-48 (1977). des groupes -divisibles sur les corps locaux ; la théorie du « corps des normes »Le « corps des normes » de certaines extensions algébriques de corps locaux. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 288 (1979) A367–A370, (avec Jean-Pierre Wintenberger). (en collaboration avec Jean-Pierre Wintenberger) qui fournit un lien entre le groupe de Galois absolu de , corps des nombres -adiques, et celui du corps . Cette théorie est une précurseur de la théorie du basculement (tilting) de Peter Scholze et a donné naissance, quinze ans plus tard, à la théorie des -modules ; la construction de l'anneau Sur certains types de représentations -adiques du groupe de Galois d’un corps local; construction d’un anneau de Barsotti-Tate. Ann. of Math. 115 (1982) 529–577. des « périodes -adiques » (contenant, en particulier, un -adique) et de ses sous-anneaux Cohomologie de de Rham, cohomologie cristalline et représentations -adiques. In Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982), Lecture Notes in Math. 1016, 86–108. Springer, 1983., Le corps des périodes -adiques. Astérisque 223 (1994) 59–111. Périodes -adiques (Bures-sur-Yvette, 1988). qui jouent le rôle, en théorie de Hodge -adique (pour la comparaison entre les cohomologie de de Rham et étale, conjectures , , de Fontaine), du corps des nombres complexes en théorie de Hodge classique (pour la comparaison entre les cohomologies de de Rham et singulière) ; la hiérarchieReprésentations -adiques semi-stables. Astérisque 223 (1994) 113–184. Périodes -adiques (Bures-sur-Yvette, 1988) « cristalline, semi-stable, de Rham » pour les représentations des groupes de Galois des corps locaux qui découle des propriétés des anneaux de périodes -adiques, la description des représentations cristallines en « petits poids » (théorie de Fontaine-LaffailleConstruction de représentations -adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982) 547–608 (avec Guy Laffaille).), et la description conjecturale des représentations de de Rham (conjectures « faiblement admissible admissible » et « de Rham potentiellement semi-stable ») ; la preuve-adic periods and -adic étale cohomology. In Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985), Contemp. Math. 67, 179–207. Amer. Math. Soc., 1987. (avec William Messing) (avec William Messing) de la conjecture dans « le cas Fontaine-Laffaille » (les conjectures , , ont donné naissance à beaucoup de travaux, notamment de Gerd FaltingsCrystalline cohomology and -adic Galois representations, in Algebraic Analysis, Geometry and Number Theory, The Johns Hopkins Univ. Press (1989), 25–80.Almost étale extensions, Astérisque 279 (2002), 185–270., Kazuya KatoSemistable reduction and -adic étale cohomology, Astérisque 223 (1994), 269–293., Takeshi Tsuji-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case, Invent. math. 137 (1999), 233–411., Wiesława NiziołCrystalline Conjecture via K-theory, Ann. Sci. École Norm. Sup. 31 (1998), 659–681.Semistable Conjecture via K-theory, Duke Math. J. 141 (2008), 151–178.Syntomic complexes and -adic nearby cycles, Invent. math. 208 (2017), 1–108 (avec Pierre Colmez)., Alexander Beilinson-adic periods and derived de Rham cohomology, J. Amer. Math. Soc. 25 (2012), 715–738.On the crystalline period map, Cambridge J. Math. 1 (2013), 1–51. et Peter Scholze-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties, Forum of Mathematics, Pi, 1, e1, 2013., et sont maintenant des théorèmes); la théorie des -modulesReprésentations -adiques des corps locaux. I. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, 249–309. Birkhäuser, 1990. qui fournit une description de toutes les représentations du groupe de Galois des corps locaux sur un corps -adique, et son application à la cohomologie galoisienne de ces représentations ; la conjecture de Fontaine-MazurGeometric Galois representations. In Elliptic curves, modular forms, & Fermat’s last theorem (Hong Kong, 1993), Ser. Number Theory, I, 41–78. Int. Press, 1995 (avec Barry Mazur). donnant un critère nécessaire et suffisant, en termes de la hiérarchie « cristalline, semi-stable, de Rham » pour qu'une représentation du groupe de Galois d'un corps global provienne de la géométrie ; la preuveConstruction des représentations -adiques semi-stables. Invent. Math., 140 (2000) 1–43 (avec Pierre Colmez). (avec Pierre Colmez) de la conjecture « faiblement admissible admissible » (la conjecture « de Rham potentiellement semi-stable » a été prouvée par une combinaison de résultats de Laurent BergerReprésentations -adiques et équations différentielles, Invent. math. 148 (2002), 219–284. et de Yves AndréFiltrations de type Hasse-Arf et monodromie -adique, Invent. math. 148 (2002), 285–317., Zoghman MebkhoutAnalogue -adique du théorème de Turritin et le théorème de la monodromie -adique, Invent. math. 148 (2002), 319–351. ou Kiran KedlayaA -adic monodromy theorem, Ann. of Math. 160 (2004), 93–184.) ; la théoriePresque -représentations. Doc. Math., (Extra Vol. 2003) 285–385. Kazuya Kato’s fiftieth birthday. des « presque -représentations » (représentations du groupe de Galois absolu d'un corps local sur des -espaces de Banach qui ne diffèrent de que par un -espace de dimension finie -- est le complété de la clôture algébrique de ) ; la construction (avec Laurent Fargues) de la courbe de Fargues-FontaineCourbe et fibrés vectoriels en théorie de Hodge -adique. Astérisque 406 (2018) 51–382 (avec Laurent Fargues). et classification de ses fibrés vectoriels dont on tire des preuves « géométriques » des conjectures « faiblement admissible admissible » et « de Rham potentiellement semi-stable ».

Comme applications de son programme, il a aussi : prouvéIl n’y a pas de variété abélienne sur . Invent. Math. 81 (1985) 515–538. une conjecture de Shafarevich selon laquelle il n'y a pas de variété abélienne définie sur avec bonne réduction modulo tout nombre premier (i.e., pas de schéma abélien sur ) ; reformulé et étenduAutour des conjectures de Bloch et Kato: cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L. In Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math. 55, 599–706. Amer. Math. Soc., 1994 (avec Bernadette Perrin-Riou). (avec Bernadette Perrin-Riou) les conjectures de Beilinson et de Bloch et Kato sur les valeurs des fonctions aux entiers.

Honneurs et distinctions En 1975, il est chargé d'un cours Peccot au Collège de FranceListe des chargés de cours Peccot, Annuaire du Collège de France.. En 1984, Jean-Marc Fontaine reçoit le prix Petit d'Ormoy, Carrière, Thébault de l'Académie des sciences. Depuis 2002, il est membre de l'Académie des sciences. En 2002 aussi, il est lauréat du Prix Gay-Lussac Humboldt. Il était conférencier invité aux Congrès international des mathématiciens à Varsovie en 1983 (Représentations p-adique) et à Pékin en 2002 (Analyse p-adique et représentations galoisiennes).

Parmi ses anciens doctorants, il y a Christophe Breuil (1996), Pierre Colmez (1988), Guy Laffaille (1984) et Jean-Pierre Wintenberger (1984).

Publications Groupes p-divisibles sur les corps locaux. Astérisque, vol. 47/48, Société Mathématique de France, 1977. Éditeur de : Périodes p-adiques. Astérisque, vol .223, 1994. Éditeur, avec Pierre Berthelot, Luc Illusie, Kazuya Kato, Michael Rapoport, de : Cohomologies -adiques et applications arithmétiques. Astérisque vol. 278/279, 2002. Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique avec Laurent Fargues. Astérisque, vol. 406, Société Mathématique de France, 2018.

Notes et références

Liens externes

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