En mathématiques, plus précisément en théorie des probabilités, le théorème de Cochran concerne la projection d'un vecteur aléatoire gaussien sur des sous-espaces vectoriels orthogonaux de dimensions finies. Il établit la loi et l'indépendance de ces projections et de leurs normes euclidiennes. Ce théorème est utilisé en statistique pour justifier la convergence en loi de tests statistiques et est l'argument clé pour des résultats de base du modèle linéaire.
Énoncé du théorème
La version générale de ce théorème est la suivante :
Une version simplifiée mais équivalente est l'énoncé suivant :
Démonstration
On peut passer de la version simplifiée à la version générale du théorème en appliquant une récurrence sur le nombre de sous-espaces vectoriels (qui interviennent dans l'énoncé) et en effectuant le changement de variable . Il suffit donc de démontrer la version simplifiée.
On note avec . Alors et par conséquent, et sont des vecteurs gaussiens. On a . En effet :
car est une projection car est une projection car et sont orthogonaux.
Ainsi, comme est diagonale par blocs, les vecteurs aléatoires et sont indépendants et ont pour lois respectives et .
Pour la norme de la projection, il suffit de prendre une base orthonormée de et une base orthonormée de . Alors
On écrit avec la matrice de passage de la base canonique à la base . Ainsi car est orthogonale. Donc les variables aléatoires sont normales centrées et puisque la matrice de covariance est diagonale elles sont indépendantes. Par définition de la loi du , .
Applications
Estimateur non biaisé de la variance
On se donne un échantillon de loi normale . On note la moyenne empirique et la variance empirique non biaisée Alors
Remarque : on a perdu un degré pour la loi du khi deux.
Test du khi deux
Le théorème de Cochran permet d'établir la convergence en loi de certains tests statistiques. C'est le cas du test d'adéquation ou le test d'indépendance. Il est aussi utilisé dans le cadre du modèle linéaire pour obtenir l'indépendance de et de et le fait que est de loi où est le nombre de variables. Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Loi normale Vecteur aléatoire Test du χ² Modèle linéaire William Cochran
Lien externe Le théorème et ses applications
Cochran