En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur est un objet très général, dont la valeur s'exprime dans un espace vectoriel. On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs. On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation à n indices du concept de matrice carrée (la matrice possède un indice ligne et un indice colonne — un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inférieurs, covariants, et d'indices supérieurs, contravariants, à ne pas confondre avec des exposants), mais la comparaison s'arrête là car une matrice n'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisé pour représenter des objets abstraits, alors que le tenseur est, comme les vecteurs et les applications multilinéaires, un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'on passe d'une représentation dans une base donnée à celle dans une autre base.
On peut envisager l'outil tenseur dans quatre types d'utilisation différentes : le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à représenter des objets algébriques complexes et où on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles ; on n'introduira pas de produit scalaire, et dans ce cas les coordonnées covariantes représentent des objets de type application linéaire et les coordonnées contravariantes représentent des objets de type (multi-)vecteurs ; le cas où la base est orthonormée, et où il n'y a pas de différence entre coordonnées covariantes et contravariantes ; le cas où la base n'est pas orthonormée, et où le produit scalaire est défini par un tenseur métrique. Dans ce cas, le tenseur métrique permet de convertir les coordonnées covariantes en coordonnées contravariantes (et vice versa) ; le cas des espaces courbes de Riemann et plus tard, de la relativité générale, dans lesquels le tenseur métrique est en fait un champ de tenseurs appelé métrique riemannienne (resp Métrique pseudo-riemannienne) et qui dépend donc de la position. Dans tous ces cas, le terme tenseur est souvent utilisé par extension, pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point d'un espace géométrique un tenseur différent.
En physique, les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques comme le champ électrique, la permittivité, les déformations, ou encore les contraintes.
La première utilisation de la notion et du terme de tenseur s'est faite dans le cadre de la mécanique des milieux continus, en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus, à partir de laquelle fut formalisée la mécanique rationnelle. En particulier, le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations sont utilisés dans la science des constructions pour définir l'état de tension et de déformation en tout point d'une structure. Outre la mécanique des fluides et mécanique du solide, les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique, tels que l'électromagnétisme. Ils sont également largement utilisés en relativité générale, pour décrire rigoureusement l'espace-temps comme variété courbe quadri-dimensionnelle.
Les tenseurs sont également utilisés en géométrie différentielle pour définir sur une variété différentielle les notions géométriques de distance, d'angle et de volume. Cela se fait par le choix d'un tenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire défini sur l'espace tangent de chaque point. Grâce à ce concept, sont alors définies et étudiées les questions liées à la courbure de la variété. D'autres tenseurs, tels que le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci, sont des outils importants pour cette étude.
Introduction thumb|220x220px|Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur de deuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image est le vecteur ligne des forces agissant sur les faces , et du cube. Ces forces sont représentées par des vecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composent le tenseur peuvent être représentées par une matrice : En mathématiques et en physique, un tenseur est un objet très général, défini intrinsèquement à partir d'un espace vectoriel (ou si on y ajoute un produit scalaire, à partir de l'espace euclidien, généralement tridimensionnel, ou bien quadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'un système de coordonnées particulier. Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis.
Par rapport à un système de coordonnées fixé, un vecteur de l'espace de dimension n s'exprime comme une suite finie de nombres (ce sont les composantes du vecteur), soit : un n-uplet. Si l'on change de système de coordonnées, ce vecteur s'exprimera alors par un autre n-uplet, différant selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé dans un système de coordonnées particulier, est une sorte de n-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (un n-uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement du système de coordonnées, les composantes d'un tenseur, comme celles d'un vecteur, sont modifiées par une loi précise. Mais en soi, le vecteur, comme le tenseur, ne change pas.
Dans le langage de l'algèbre linéaire, la notion mathématique de tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire et la définition d'un tenseur peut être donnée sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire et d'espace vectoriel dual.
Histoire Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor, mot introduit en 1846 par William Rowan Hamilton pour décrire la norme dans un système algébrique (finalement nommé algèbre de Clifford). Le mot a été utilisé avec son sens actuel par Woldemar Voigt en 1899.
Le calcul différentiel tensoriel a été développé vers 1890 sous le nom de calcul différentiel absolu, et fut rendu accessible à beaucoup de mathématiciens par la publication par Tullio Levi-Civita en 1900 du texte classique de même nom (en italien, suivi de traductions). Au , le sujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, et acquiert une reconnaissance plus large avec l'introduction de la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein, autour de 1915.
La relativité générale est complètement formulée dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec quelque difficulté, avec l'aide du géomètre Marcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise également les tenseurs dans d'autres domaines, par exemple la mécanique des milieux continus.
Définition et exemples Définition Un tenseur représente une application multilinéaire. L'algèbre des tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbre multilinéaire.
La définition des tenseurs exposée ici est la plus intrinsèque, parce qu'elle ne fait pas usage des bases, et est la plus utilisée en mathématiques.
Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif . L'espace dual V* est l'espace vectoriel formé de toutes les formes linéaires définies sur V. L'espace V* est aussi de dimension n. Les éléments de V et V* sont appelés respectivement vecteurs et covecteurs.
Un tenseur est une application multilinéaire Un tenseur associe alors à h covecteurs et k vecteurs un scalaire
La multilinéarité garantit que la fonction est linéaire sur chaque variable.
L'ordre ou type ou valence du tenseur est le couple (h, k). On donne aussi le nom d'ordre ou de rang à la somme h+k.
Représentation Dans le cas où l'espace vectoriel V est de dimension finie n, on se donne une base de V (avec les indices situés en bas), V* étant alors muni de la base duale, notée ici (avec les indices notés en haut). Du fait de la multilinéarité, pour déterminer un tenseur T de type (h, k), il suffit de donner les valeurs qu'il prend lorsqu'on l'applique sur les vecteurs de base, autrement dit de donner les valeurs :
où les quantités possèdent h+k indices pouvant varier de 1 à n. Parmi ces indices, h sont conventionnellement notés en haut et k en bas. On appelle composante chacun des nombres . Représenter un tenseur d'ordre h+k donné nécessite donc composantes.
La position des indices distingue ceux qui correspondent à un vecteur ou à un covecteur, en les disposant soit en haut, soit en bas. Un vecteur de V s'écrit , et les s'appellent composantes contravariantes. Un vecteur de V* s'écrit , et les s'appellent composantes covariantes. De même, en ce qui concerne les composantes du tenseur, on mettra les indices en haut pour les contravariants, en bas pour les covariants. Par exemple, avec un tenseur du type (1,2), on posera pour chacune des composantes de T.
Ordre Un tenseur d'ordre 0 est un scalaire. En effet, celui-ci est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0. Un tenseur d'ordre 1 est assimilable à un vecteur ou à un covecteur. En effet, si l'espace V est de dimension n, un tenseur d'ordre 1 dispose de n composantes dans une base donnée, tout comme un vecteur. Si l'on change de base, les composantes changent, mais le tenseur ou le vecteur correspondant reste le même. En tant qu'application, le tenseur est une forme linéaire définie sur V ou sur V*, et est donc un élément de V* ou de V. Force, déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1. Un tenseur d'ordre 2 est une forme bilinéaire. Une base étant choisie, cette forme est décrite par une matrice carrée M et possède coefficients qui dépendent de la base de V. Le tenseur représente toutes les matrices obtenues à partir de M par changement de base. Plus généralement, on peut envisager des objets définis avec trois, quatre, indices . Un objet défini par indices et vérifiant les formules de changement de base est un tenseur d'ordre . Sur un espace vectoriel de dimension finie n, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 à n. Un tenseur d'ordre m sur cet espace vectoriel a donc coefficients selon une base donnée. Par exemple, si le tenseur d'ordre représente une application multi-linéaire de V×V×… ×V dans , alors :
On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant . Si le tenseur « relie » espaces vectoriels de dimensions différentes , alors le tenseur contient coefficients.
Notation Dans les notations, représente la composante du tenseur T d'indices . Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de traits que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté plutôt que , et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté . Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur d'ordre 4, et les déformations et contraintes par des tenseurs d'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportement élastique linéaire, .
Cette notation, utilisée en mécanique, n'est pas celle des mathématiques.
Valence