En mathématiques, le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel (qui est noté avec le même symbole) des vecteurs vers les matrices et donne la matrice d'un produit tensoriel linéaire dans une base donnée. Le produit de Kronecker doit être distingué des autres produits matriciels, que ce soit le classique ou celui de Hadamard, qui sont totalement distincts. On appelle parfois le produit de Kronecker le produit matriciel direct. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker, bien qu'il ne soit pas établi qu'il a été le premier à le définir et l'utiliser. Le produit de Kronecker est aussi parfois appelé produit de Zehfuss, du nom de , qui l'a étudié en 1858, mais ce nom reste peu répandu. Ce serait Kurt Hensel qui aurait attribué la définition de l'opération à Kronecker plutôt qu'à Zehfuss.

Définition formelle

Soient une matrice de taille m x n et une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant

En d'autres termes

Ou encore, en détaillant les coefficients,

Exemple Comme le montre l'exemple ci-dessous, le produit de Kronecker de deux matrices consiste à recopier plusieurs fois la deuxième matrice, en la multipliant par le coefficient correspondant à un terme de la première matrice.

Propriétés

Bilinéarité, associativité

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour , et , on a les équations suivantes :

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant les matrices et sont équivalents à une permutation près; plus précisément, pour toutes et il existe deux matrices de permutation et telles que . Si de plus et sont carrées et de même taille, alors et sont semblables par permutation sur les vecteurs de la base :

où est une matrice de permutation.

Propriétés sur les produits Produit mixte La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits et :

On peut en déduire que est inversible si et seulement si et sont inversibles, auquel cas :

Commutateurs

Si et sont deux matrices carrées de même taille, et et sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité sur les commutateurs , ou .

Produit de Hadamard Si et sont deux matrices carrées de même taille, et et sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité

où le signe désigne le produit matriciel de Hadamard.

Spectre

En utilisant la propriété précédente on déduit que si et sont des vecteurs propres de et : et , alors :

Donc si et sont les valeurs propres de et , alors sont les valeurs propres de , en comptant la multiplicité.

En particulier:

où désigne la trace, le déterminant et le rang de la matrice.

Transposition

On a la propriété suivante sur la transposée :

Notes et références

Liens externes

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