En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le théorème des trois carrés s'énonce de la manière suivante :

Les premiers entiers naturels qui ne sont pas somme de trois carrés sont donc :

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... .

Dit autrement, les racines carrées de ces nombres sont les longueurs interdites des diagonales d'un parallélépipède rectangle à côtés entiers.

Les premiers entiers naturels qui sont somme de trois carrés sont donc : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Histoire

N. Beguelin découvre en 1774« Démonstration du théorème de Bachet, et analyse des nombres en triangulaires & en quarrés », Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), . que chaque entier positif qui n'est ni de la forme , ni de la forme , est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).. Cette assertion est clairement équivalenteA. L. Cauchy, « Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones », Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813-1815), et suiv., Œuvres complètes, série 2, tome 6, p. 320 et suiv. : voir . à la partie "si" de l'assertion (1) ci-dessus, dont Adrien-Marie Legendre, en 1797 ou 1798A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797-1798), ., donne une preuve défectueuse, ne remarque pas les défauts de cette preuve, mais voir l'analyse précise de , Addition aux Nos 288-293, et les commentaires de , ou .. En 1801, Carl Friedrich Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème, ., en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de LegendreA.-M. Legendre, « Recherches d'analyse indéterminée », Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, : ., dont la preuve laissait également à désirer..

Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (conjecturé par Bachet), qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés, et le théorème des deux carrés d'Euler (conjecturé par Girard et Fermat), le problème de Waring pour est entièrement résolu.

Démonstrations

Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1850.. et devenue classiqueVoir par exemple vol. I, partie III, chap. 4 de : E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927., sont la loi de réciprocité quadratique, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet et la classe d'équivalence de la forme quadratique ternaire . Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-CasselsPour une autre démonstration, voir par exemple ., qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.

Sommes de trois carrés non nuls Les premiers entiers naturels qui sont sommes de trois carrés non nuls sont : 3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30,... : .

Il a été démontré que les entiers naturels qui sont sommes de trois carrés mais qui ne sont pas somme de trois carrés non nuls sont les nombres de la forme où est un entier naturel et , où ? désigne un entier inconnu qui s'il existe est . Les premiers de ces entiers sont ().

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Théorème des deux carrés de Fermat Théorème des quatre carrés de Lagrange Théorème de Legendre Somme de trois cubes

Théorème des nombres polygonaux de Fermat

Bibliographie

Liens externes

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