Théorème d'Abel (algèbre)

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de sous la forme

Ce résultat est exprimé pour la première fois par Paolo Ruffini, puis démontré rigoureusement par Niels Henrik Abel. Un théorème ultérieur d'Évariste Galois donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Cette version plus précise permet d'exhiber des équations de degré 5, à coefficients entiers, dont les racines complexes ne s'expriment pas par radicaux.

Tous les corps considérés dans cet article sont supposés commutatifs et de caractéristique nulleIl existe un analogue dans le cas de la caractéristique strictement positive, à condition de modifier la définition d'équation résoluble et de faire appel à la théorie d'Artin-Schreier. Voir par exemple .. thumb|Niels Henrik Abel (1802-1829) présente la première démonstration rigoureuse et complète du théorème qui porte maintenant son nom.

Préambule Signification du théorème Le théorème d'Abel et le théorème de d'Alembert-Gauss sont les deux théorèmes fondamentaux de la théorie des équations, c'est-à-dire la théorie qui traite des équations polynomiales ou équivalentes. Une équation est dite polynomiale si elle est de la forme anxn+…aixi+a0 = 0. Le théorème de d'Alembert-Gauss indique qu'une équation polynomiale à coefficients complexes admet au moins une racine complexe si le polynôme correspondant n'est pas constant.

Des méthodes numériques comme la méthode de Newton ou celle de Laguerre s'appliquent indépendamment du degré de l'équation. Si n, le degré du polynôme, est petit, il existe aussi des méthodes dites algébriques pour résoudre l'équation. Ainsi, si n est égal à 2, et si P s'écrit les solutions sont données par la formule classique où est le discriminant du polynôme ; on dit que est un radical. Des formules analogues (mais plus compliquées) existent pour les polynômes de degré 3 ou 4, comme le montrent les méthodes de Cardan et de Ferrari.

Mais pour les degrés strictement supérieurs à 4, et en dépit de plusieurs siècles d'efforts, aucune formule générale analogue à celles des degrés 2, 3 et 4 n'avait pu être trouvée. Le théorème d'Abel exprime le fait qu'aucune formule de cette nature n'existe. Une méthode pour exprimer néanmoins les racines consiste à faire usage d'une famille de fonctions plus vaste que celle des racines n-ièmes, telle que celle des fonctions elliptiques ; mais les formules ainsi obtenues n'ont qu'un intérêt théorique ; en pratique, il est bien plus intéressant d'obtenir des valeurs approchées à l'aide, par exemple, de la méthode de Newton.

Expressions du théorème L'expression utilisée par Abel dans son mémoire de 1824 est la suivante :

Abel ajoute qu'

Évariste Galois est l'auteur d'une forme plus aboutie du théorème. Sa méthode est celle généralement utilisée pour démontrer le théorème. Cette formulation prend le nom de théorème de GaloisYves Laszlo, Théorie de Galois, École Polytechnique, . ou théorème d'Abel-GaloisCédric AStier-David, , Université Joseph Fourier, ., parfois aucun nom n'est indiqué, .. Sa formulation est plus générale car elle s'applique à tout corps K (commutatif et de caractéristique nulle, comme annoncé dans l'introduction) et indique si une équation algébrique est résoluble par radicaux ou non.

Radical Soient K un corps et L une extension de K. Un élément de L est dit radical sur K si l'une de ses puissances appartient à K. On dit qu'un élément de L s'exprime par radicaux sur K s'il est le dernier terme d'une suite finie de premier terme nul et dont chaque terme est radical sur l'extension de K engendrée par les termes précédents. On dit que l'extension L de K est résoluble par radicaux si chaque élément de L s'exprime par radicaux sur K. Lorsque l'extension est finie, cela revient à dire que L est contenu dans une extension K(α, … , α) telle que pour chaque i compris entre 1 et k, α appartient à K(α, … , α) pour un certain entier naturel n. On dit qu'un polynôme est résoluble ou résoluble par radicaux si toutes ses racines s'expriment par radicaux sur K. Autrement dit : l'extension de K engendrée par les racines du polynôme est résoluble par radicaux.

Formalisme de la théorie de Galois L'expression du théorème de Galois ci-dessus utilise des notions de sa théorie. Le corps de décomposition L de P désigne le plus petit corps contenant K ainsi que toutes les racines de P. C'est donc une extension finie et normale de K. L'hypothèse que K est de caractéristique nulle assure entre autres qu'il est parfait, c'est-à-dire que tout polynôme irréductible à coefficients dans K est à racines simples. L'extension L de K est donc de plus séparable. En résumé : L est une extension galoisienne finie de K.

Une structure clé pour étudier une telle extension est son groupe de Galois : c'est le groupe des automorphismes de corps de L fixant chaque élément de K. On démontre que l'ordre du groupe de Galois d'une extension galoisienne finie est égal au degré de l'extension (à ne pas confondre, pour l'extension L de K, avec le degré du polynôme P).

La notion centrale du théorème est celle de groupe résoluble. Les premiers exemples de groupes résolubles sont les groupes abéliens. Les exemples suivants sont les groupes G possédant un sous-groupe normal abélien G tel que le groupe quotient G/G soit abélien. Dans le cas général :

Histoire Une vision d'ensemble de la théorie des équations, traitant en particulier du théorème d'Abel, est donnée dans l'article « Théorie des équations (histoire des sciences) ».

Genèse Si la première étude systématique des équations algébriques remonte au , dans l'''Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison du mathématicien perse Al-Khawarizmi., l'idée d'associer une structure de groupe à l'équation n'apparaît qu'au . Joseph-Louis Lagrange met en évidence la relation entre les propriétés d'un groupe de permutations des racines et la possibilité de résolution d'une équation cubique ou quartiqueJoseph-Louis Lagrange, « Réflexions sur la résolution algébrique des équations », dans Nouveaux mémoires de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1771 Lire sur Gallica.. S'il est possible de voir dans ces travaux l'origine de l'utilisation des permutations dans ce domaine, en revanche, ne sont utilisés ni la loi de composition ni l'ensemble des permutations comme une structure propre. Son approche est toutefois suffisante pour émettre un sérieux doute sur l'existence d'une formule exprimant les racines d'un polynôme quelconque de degré n, si n est strictement supérieur à 4.

Paolo Ruffini thumb|Paolo Ruffini (1765-1822).

Paolo Ruffini est le premier à affirmer que l'équation générale et particulièrement l'équation quintique n'admet pas de solution. Il reprend la démarche de Lagrange qui montre que toutes les méthodes utilisées jusqu'ici reviennent à des cas particuliers d'une approche plus générale. Ruffini montre que la méthode de Lagrange ne peut fournir, pour l'équation de degré 5, de formule équivalente à celle de Cardan pour le degré 3. Il publie un livre sur cette question Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, 1799. en 1799.

La communauté scientifique de l'époque ne reconnaît pas son travail. Il envoie son livre à Lagrange en 1801, mais n'obtient aucune réponse. Une présentation officielle à l'Académie des sciences n'obtient pas plus de succès. Les mathématiciens Lagrange, Legendre et Lacroix sont chargés d'évaluer la validité de sa preuve. Le rapport décrit son travail comme sans importance, sa démonstration comporte une lacune, rien n'indique qu'il n'existerait pas d'autres méthodes, différentes de celle de Lagrange et donc de toutes celles trouvées jusque-là, et qui permettrait une résolution par radical. Une nouvelle tentative, auprès de la Royal Society anglaise obtient une réponse plus sympathique : si un tel travail n'entre pas dans sa compétence, les résultats ne semblent néanmoins pas contenir d'erreur. Deux autres publications en 1803 et 1808 n'auront guère plus de succès. Pour les mathématiciens de l'époque, le résultat est soit faux, soit anecdotique. Seul Augustin Louis Cauchy comprend la profondeur de son travail. Il lui envoie une lettre en 1821 dans laquelle il indique à la fois la validité et l'importance de la question traitée. Cauchy généraliseA. L. Cauchy, « Sur le nombre des valeurs qu'une fonction peut acquérir lorsqu'on permute de toutes les manières possibles les quantités qu'elle renferme », dans Journal de l'École Polytechnique, 1815. le résultat sur les permutations à la base des travaux de RuffiniL'essentiel des informations de ce paragraphe provient de ..

Niels Henrik Abel Après une tentative infructueuse en 1821, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel publie, à ses propres frais, un petit texte de six pagesN. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824.. À la différence des travaux de Ruffini, ce document représente une preuve complète du théorème. Il obtient néanmoins une incompréhension analogue à celle des textes précédents. Même Carl Friedrich Gauss juge le sujet sans intérêt. La lettre d'Abel sera retrouvée après la mort de Gauss non décachetée. En 1801, ce mathématicien avait exprimé dans sa thèse que la recherche de solution par radicaux était sans intérêt, il suffisait de donner un nom quelconque à la racine. Il est vrai qu'en termes de technique numérique, il est beaucoup plus simple d'utiliser une méthode comme celle de Newton pour obtenir une valeur approchée d'une racine ; la résolution par radical ne possède plus au le même intérêt qu'il avait les siècles précédents pour le calcul numérique. Et, si ce n'est pas pour obtenir une approximation numérique, alors autant utiliser une lettre pour décrire la racine. Même Cauchy, qui reçoit Abel en 1826, daigne à peine jeter un coup d'œil à ses travaux.

D'autres articles furent écrits entre 1826 et 1828, contenant la preuve de l'impossibilité de la résolution dans le cas général. Les travaux d'AbelN. H. Abel, « Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré » , dans Journal de Crelle, 1826. finissent par convaincre la communauté scientifique. En 1830, Cauchy retrouve son manuscrit, et Abel finit par obtenir le grand prix de mathématiques de l'Académie des sciences la même année à titre posthumeL'essentiel de ces informations provient de ..

Évariste Galois thumb|Évariste Galois (1811-1832). Après les travaux d'Abel, seuls trois éléments manquent pour une expression finale du théorème : une approche effective, la condition nécessaire et suffisante de résolubilité de l'équation et une compréhension profonde des mécanismes qui rendent possible la résolubilité. C'est Évariste Galois qui réalise ces trois progrès.