Les équations de diffusion de Stefan-Maxwell décrivent la diffusion dans un milieu multiespèce. Elles ont été établies indépendamment par James Clerk Maxwell J. C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », The Scientific Papers of J. C. Maxwell, 1965, Volume 2, pp. 26–78 (1866) pour les gaz peu denses et Josef Stefan J. Stefan, « Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen », Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 2te Abteilung a, 1871, 63, 63-124. (1871) pour les liquides.

Première version des équations Il n'est pas possible en général d'exprimer de manière explicite les flux de diffusion en fonction des gradients de concentration. La relation entre ces quantités, pour un milieu en régime stationnaire, est donnée par le système linéaire

où est le flux massique de diffusion pour l'espèce i (), est la vitesse de diffusion de l'espèce i (), la fraction molaire de l'espèce i () ou volumique, la fraction massique de l'espèce i (), le coefficient de diffusion binaire de l'espèce i dans l'espèce j (), quantité strictement positive, la masse volumique totale (), où est la densité volumique de particules et leur masse, le potentiel chimique de l'espèce i (), la constante universelle des gaz ( ), la température ( ), est le nombre d'espèces présentes dans le milieu. Ce système est d'ordre mais de rang puisque par définition de la notion de diffusion

Dans le cas d'un système binaire ce système se résout immédiatement et conduit à la première loi de Fick

Ceci implique que

Cette symétrie est naturelle lorsqu'on regarde l'interaction ij au niveau microscopique.

On peut résoudre formellement le système linéaire :

où est la masse molaire, est la masse molaire moyenne. On obtient une expression multilinéaire explicite où les coefficients de diffusion multicomposants sont à calculer par inversion du système. Dans un calcul de mécanique des fluides cette résolution peut être pénalisante et on utilise diverses approximations permettent d'écrire le système plus simplement :

où est une pondération que l'on peut prendre égale à ou La précision relative est de quelques pour-cent. On peut également utiliser un nombre de Lewis constant au prix d'une moindre précision..

Généralisation dans le cas des gaz

La méthode de Chapman-Enskog permet de généraliser ce système pour un gaz avec la prise en compte des gradients de pression et de température

où est la pression (unité SI :), est la température (unité SI :), est coefficient de diffusion thermique multicomposant (sans dimension). La diffusion par gradient thermique constitue l'effet Soret.

On trouve parfois cette expression écrite sous une forme équivalente

où est nommé coefficient de diffusion thermique (unité SI : ce n'est pas un coefficient de diffusion).

La relation entre ces deux systèmes d'équations se fait par la relation

Le rang du système étant N-1 on a :

| ||style="width:3em;"| || |} Pour un milieu binaire l'équation de Stefan-Maxwell s'écrit :

La solution est :

À l'équilibre (pas de diffusion), il peut exister un gradient de concentration lié au gradient de température :

Pour les gaz les coefficients de diffusion binaires varient approximativement comme . et ont un signe quelconque et une variation en température assez erratique comme indiqué par les courbes jointes.

Extension à un milieu chargé Le système décrivant la diffusion peut être étendu au cas d'un gaz contenant en faible quantité des particules portant une charge électrique :

où est la densité de charge pour l'espèce i, le nombre de charges de la particule i, pour l'électron, la charge de l'électron, la densité de charge totale, le champ électrique.

La simplification de cette expression dans un milieu quasineutre conduit à l'approximation de la diffusion ambipolaire.

Notes

Références

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