En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie.

De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point.

Ce théorème est démontré pour la première fois par Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 Luitzen Egbertus Jan Brouwer, « Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten », Mathematische Annalen, 1912 .. Cette approche généralise des résultats démontrés par le passé comme le théorème de JordanCe théorème énonce qu'un lacet simple divise le plan en deux composantes connexes. Il est finalement démontré rigoureusement en 1905 : Oswald Veblen, « Theory on plane curves in non-metrical analysis situs », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 6, 1905, . ou les travaux de Leopold Kronecker sur les fonctions continûment différentiables de la sphère réelle de dimension n – 1 dans un espace vectoriel de dimension n Leopold Kronecker, « Über Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln », Monatsber. Berlin Akad., 1869, et 688-698..

Ces résultats, qui intuitivement se comprennent aisément, imposent, pour une démonstration rigoureuse, des développements parfois techniques. Un exemple archétypal de résultat de même nature est le théorème du point fixe de Brouwer. Il énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie dans elle-même admet un point fixe. Le théorème du point fixe de Brouwer peut être déduit du théorème de la boule chevelue.

Représentations intuitives du théorème IntuitivementCette description est reprise ici de Benoît Rittaud, « , Le journal de maths des élèves, vol. 1, 1, 1994, ENS de Lyon., on peut se représenter une sphère recouverte de cheveux souples et pas frisés, chaque point de la sphère étant la racine d'un cheveu. On considère la projection du cheveu sur le plan tangent à la sphère au point où le cheveu pousse : l'ensemble de ces projections donne une bonne idée d'un champ de vecteurs tangents sur la sphère. On cherche alors à coiffer ces cheveux en les aplatissant sur la surface de la boule, et en évitant les discontinuités : on ne fait pas de raie, on ne permet pas à des cheveux de changer brutalement de direction les uns par rapport aux autres. Le théorème dit qu'il est impossible d'arriver à ce résultat. Quoi qu'on fasse, on va causer la formation d'au moins un épi, c'est-à-dire d'un endroit où un cheveu se dressera.

Énoncé La sphère réelle de dimension est la partie de des vecteurs de norme euclidienne 1, soit donc :

On munit cet ensemble de la topologie induite par la distance euclidienne. Cet espace topologique est une sous-variété connexe et compacte de dimension . Intuitivement, si v est un vecteur unitaire, donc un point de , la sphère peut au voisinage de v être approchée par l'hyperplan affine de ℝ passant par v et orthogonal à v ; la dimension se réfère à la dimension de cet hyperplan, qui est un sous-espace affine. Un champ de vecteurs sur peut se définir comme une application telle que pour tout v dans , X(v) soit orthogonal à v. Le champ est dit continu si l'application est continue.

En dimension impaire , il existe des champs de vecteurs continus et mieux encore, analytiques, qui ne s'annulent en aucun point : pour tout vecteur de le vecteur est orthogonal à v ; donc si v est unitaire, X(v) est tangent en v à la sphère, ce qui définit bien un champ de vecteurs X sur , continu et jamais nul.

Démonstration visuelle pour la sphère ordinaire

On veut démontrerCette démonstration est inspirée d'un énoncé d'examen de mathématiques à l'université Pierre-et-Marie-Curie. On y trouve une référence, par exemple dans la page de discussion du site par Les mathématiques.net. qu'il ne peut y avoir de champ de vecteurs tangent et continu, qui ne s'annule jamais sur la sphère ordinaire dans l'espace à trois dimensions. On va raisonner par l'absurde et donc supposer qu'il existe sur la sphère un champ de vecteurs tangent, continu et qui ne s'annule jamais.

On dessine sur une orange un équateur, un cercle polaire arctique et un cercle polaire antarctique, et on convient de ne voyager le long des parallèles que dans la direction de l'est. On dessine un champ de vecteurs tangent dans les régions arctique et antarctique. Ce champ de vecteurs est à peu près de direction constante, et on peut imaginer que c'est le vent. Si cela gêne le lecteur de penser que le vent est à peu près de direction constante sur une région aussi vaste, il suffit de réduire ces régions par la pensée, et comme le champ de vecteurs représentant le vent est supposé continu, il y aura certainement une zone assez petite pour que le vent y souffle dans une direction fixe, à la précision des mesures près.

On introduit alors un repère mobile, représenté par une figurine en papier : Marinette. Marinette va pouvoir se déplacer le long des parallèles de l'orange, et pour prendre des photos, il a fallu faire une Marinette en papier, collée sur une longue épingle à tête plastique plate. Quand Marinette va vers l'avant, elle prend la direction du premier vecteur de base. Sa main gauche est dans la direction du deuxième vecteur de base, et la direction allant des pieds à la tête de Marinette est celle du troisième vecteur de base, formant ainsi un repère direct.

Marinette fait le tour de l'orange en se déplaçant vers l'est le long des parallèles et observe la direction d'où vient le vent. Quand elle fait le tour vers l'est du cercle arctique, le vent tourne autour de sa tête comme suit : elle l'a dans le dos, puis il vient de la gauche, puis dans la figure, de la droite et de nouveau dans le dos. Comme Marinette connaît les conventions des mathématiciens, elle dit que, par rapport à elle, le vent fait un tour dans le sens rétrograde, ce qui est la même chose que faire un tour dans le sens des aiguilles d'une montre.

Quand Marinette fait le tour vers l'est du cercle antarctique, elle a le vent dans le dos, puis il vient de la droite, puis elle l'a dans la figure, puis à gauche et de nouveau dans le dos. Donc, par rapport à Marinette, le vent fait un tour dans le sens direct, ce qui est la même chose que dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Pas besoin de faire effectivement le tour le long de l'équateur pour se représenter ce qui va se passer : si le vent souffle partout le long de l'équateur, alors il va faire un certain nombre de tours autour de Marinette quand elle parcourra son chemin. On ne sait pas combien de tours, mais on sait que ce sera un nombre entier, positif, négatif ou nul. On sait aussi que sur tout parallèle où le vent souffle partout, celui-ci fera un nombre entier de tours par rapport à elle. On se dit enfin que le nombre de tours du vent doit être continu par rapport à la latitude du parallèle. Imaginons que sur un parallèle le vent fasse 5 tours, et que juste un peu plus au nord il n'en fasse que 4 ; dans ce cas, soit le vent s'annule quelque part, soit il est discontinu.

Maintenant, avec Marinette, on sait démontrer le théorème de la boule chevelue : si le vent souffle partout sur la terre-orange tout en variant continument, alors son nombre de tours par rapport à un voyageur parcourant vers l'est un parallèle ne dépend pas de la latitude. Mais il fait –1 tour sur un parallèle assez proche du pôle nord et +1 tour sur un parallèle assez proche du pôle sud. Il y a donc une contradiction !

Formalisation de la démonstration visuelle

Cette formalisation sera d'abord géométrique, puis analytique pour ceux qui se sentent plus sûrs des questions d'orientation quand tout est écrit. On raisonne par l'absurde, en supposant qu'il existe un champ de vecteurs tangent continu et ne s'annulant nulle part sur la sphère .

Version géométrique

On choisit sur la sphère un pôle nord et un pôle sud, ainsi qu'une orientation. On peut alors parler des parallèles de la sphère et les orienter de façon continue. De plus, on peut définir un repère mobile tangent sur la sphère, en dehors des pôles nord et sud. Le premier vecteur du repère mobile est tangent au parallèle passant par ce point et orienté dans la direction de parcours des parallèles, et le second vecteur est perpendiculaire au premier, avec un sens choisi pour se conformer à l'orientation de la sphère. Le champ de vecteurs admet une décomposition dans le repère mobile. On peut donc associer à tout parallèle un nombre d'enroulement : c'est le nombre d'enroulement du champ de vecteurs dans le repère mobile le long de ce parallèle. Ce nombre est bien défini puisque le champ de vecteurs ne s'annule pas. Il dépend continûment de la latitude du parallèle, d'après les résultats standard sur la continuité du nombre d'enroulement, et il est entier. Il est donc constant.

On calcule ce nombre d'enroulement au voisinage du pôle nord. Certes, le repère mobile cesse d'être défini au pôle nord, mais pour pallier cette difficulté, on dilate un parallèle proche du pôle nord en un cercle de rayon unité, et on projette à la fois le champ de vecteurs et le repère mobile sur le plan tangent au pôle nord. L'orientation de ce plan tangent est déduite de celle de la sphère. Par continuité, le nombre d'enroulement ne change pas lors de cette transformation. À la limite, le repère mobile transformé tourne une fois autour du pôle, dans le sens des parallèles, et donc le champ de vecteurs tourne une fois dans le repère mobile. Le nombre d'enroulement vaut donc m et m vaut +1 ou –1, suivant le choix d'orientation des parallèles.

Avec le même raisonnement au voisinage du pôle sud, le repère mobile tourne une fois autour du pôle sud dans le sens des parallèles, mais pour maintenir une orientation cohérente avec celle de la sphère, en tant que plan dans l'espace à trois dimensions, le plan tangent au pôle sud est orienté dans le sens opposé du plan tangent au pôle nord, et donc le nombre d'enroulement du champ est . On a la contradiction souhaitée.

Version analytique

On note le point courant de la sphère et le champ de vecteurs. On paramétrise la sphère en coordonnées sphériques, en la supposant de rayon 1 :

avec et

On remarque que ce paramétrage ne définit ni une bijection ni a fortiori un difféomorphisme.

En chaque point de la sphère distinct des pôles nord et sud, on introduit un repère mobile formé de deux vecteurs tangents à la sphère : , de coordonnées et , de coordonnées . Il est immédiat que cette base dépend continûment de et pour et .

Dans cette base, et bien sûr en dehors des pôles nord et sud, le champ de vecteurs admet des coordonnées : et

Ces coordonnées dépendent continûment de et , sur . De plus, elles dépendent périodiquement de , avec la période , et elles ne s'annulent pas simultanément.

Pour tout compris strictement entre et , on peut donc définir le nombre d'enroulement du champ de vecteurs

sur le cercle unité. C'est un entier , qui est une fonction continue de , et donc constant.

On va maintenant calculer le nombre d'enroulement du champ de vecteurs au voisinage des pôles nord et sud, afin d'arriver à une contradiction.

Soit la valeur du champ de vecteurs au pôle nord. Ses trois composantes sont . Par continuité du champ, on peut trouver un tel que :

On peut aussi choisir assez petit pour avoir

Si l'on note :

alors le calcul donne

pour .

Par conséquent, , ce qui reste strictement inférieur à .

Donc a le même nombre d'enroulement que et ce dernier vaut .

Le même raisonnement au voisinage du pôle sud montre que si l'on pose

alors pour assez proche de , le nombre d'enroulement de est le même que celui de , c'est donc 1.

On a bien la contradiction souhaitée.