Une grandeur d'orientation est une grandeur physique qui se limite à décrire l'orientation de la grandeur physique scalaire associée, suivant l'un des quatre éléments d'un groupe de Klein, interprété ici comme trois grandeurs à caractère directionnel , et , susceptibles de représenter trois sortes d'orientation différentes, et la grandeur , élément neutre du groupe représentant un scalaire. Dans l'analyse dimensionnelle standard, la dimension de cette grandeur est « sans unité », et elle ne joue pas de rôle. Une interprétation possible de cette extension par le groupe de Klein est de considérer que les grandeurs physiques ne sont pas uniquement caractérisées à travers les grandeurs des unités de base du Système international, mais également par une « grandeur d'orientation » donnant une information sur leur rapport à la dimensionnalité spatiale.
Cette approche conduit en particulier à attribuer au radian une grandeur d'orientation intrinsèque non scalaire, ce qui permet de formaliser simplement l'analogie entre rotation et translation, et la différence intrinsèque entre grandeur physique de mêmes unités de base en USI mais néanmoins incommensurables, comme le couple et le travail, ou la fréquence et la vitesse de rotation. Plus généralement, n'importe quelle grandeur physique dérivée peut de même, de proche en proche, être caractérisée par une certaine grandeur d'orientation, utilisable en tant que telle dans une équation aux dimensions.
Une autre approche consiste à attribuer à un paramètre physique, intervenant dans un problème particulier, une certaine grandeur d'orientation, traduisant cette fois-ci l'orientation géométrique suivant laquelle cette grandeur intervient dans le problème. Elle permet d'affiner l'analyse dimensionnelle du problème en lui donnant une perspective spatiale, ce qui permet notamment de prendre en compte l'effet de rotations angulaires, et permet de distinguer l'effet de la contrainte d'homogénéité qu'impose l'analyse dimensionnelle sur les trois directions de l'espace. Dans le cas où cette grandeur physique est vectorielle ou un pseudovecteur, la grandeur d'orientation traduit une information sur l'orientation du vecteur correspondant, par rapport au problème initial.
Ces deux approches peuvent être simultanément employées, mais ne doivent pas être confondues.
Historique
Quelle est la dimension d'un angle ?
L'idée qu'une dimension particulière puisse être associée aux mesures angulaires n'est pas nouvelle, mais se heurte à des difficultés. Pour MaxwellEncyclopaedia Britannica, Ninth Edition. VII, 241, l'analyse dimensionnelle permet en particulier de se rendre indépendant du choix d'un système d'unité particulier, en permettant de traduire la valeur numérique d'une mesure physique d'un système à l'autre :
De ce point de vue, l'équation aux dimensions d'une grandeur physique décrit donc la manière dont cette mesure varie suivant le choix de l'unité, ou est relié au choix déjà fait d'unités fondamentales de ce système. Dans ce cas, il est logique qu'une dimensionnalité puisse également être attribuée aux mesures angulaires :
À partir par exemple du développement en série entière de la fonction cosinus, il est relativement facile (en égalisant les dimensions) de montrer que l'unité attribuée à un angle doit être telle que , mais en déduire que est une restriction non justifiée. Il suffit que [θ] soit une racine carrée de l'unité, comme on en trouve dans les nombres complexes et les quaternions. Chester H. Page, Journal of research of the National Bureau of Standards-B. Mathematics and Mathematical Physics. Vol 65B, No.4, October-December 1961..
Approche projectionnelle
Une extension proposée par HuntleyHuntley, H. E. (1967), Dimensional Analysis, Dover, LOC 67-17978 à l'analyse dimensionnelle consiste à considérer que les trois composantes d'un vecteur doivent être considérés comme relevant de grandeurs distinctes. Dans ce cas, au lieu de n'avoir qu'une longueur L indifférenciée, on aura une longueur Lx dans la direction des x, et ainsi de suite.
On voit donc que cette approche consiste à ramener un problème situé dans l'espace de dimension trois à plusieurs problèmes dans des espaces linéaires de dimension un. La justification profonde d'une telle approche est que chaque composante d'une équation dimensionnellement consistante doit lui-même être dimensionnellement consistant, que l'équation soit scalaire, vectorielle ou tensorielle. Par conséquent, en projetant le problème sur l'un ou l'autre de ses axes de symétrie, on peut (parfois) identifier des équations indépendantes, et chaque équation supplémentaire permettra de résoudre une nouvelle variable.
Bien que souvent utile, donc, cette extension de la méthode proposée par Huntley présente encore quelques insuffisances : Elle ne gère pas bien les situations impliquant des produits vectoriels ; Il n'est pas toujours facile d'assigner aux différentes variables du problème ces grandeurs L, L, L et L, c'est-à-dire d'identifier des axes de projection pertinents ; Elle ne permet surtout pas de gérer les angles considérés comme des variables physiques.
Plutôt que d'introduire seulement trois dimensions de longueur Lx d'orientation distinctes, comme proposé par Huntley, Donald Siano a proposé pour représenter le caractère vectoriel de certaines grandeurs de retenir comme grandeur à part entière des « grandeurs d'orientation » , et dans l'équation aux dimensions, le symbole représentant de son côté une grandeur scalaire sans orientation. Avec cette approche, la dimension projetée proposée par Huntley devient une grandeur dérivée composée , où traduit le caractère de « longueur », et traduit le caractère d'« orientation » dans une direction particulière, donc le caractère essentiellement vectoriel de cette grandeur.
Dans les formules dimensionnelles, les grandeurs scalaires ont alors une dimension de quelle que soit la direction de l'espace où elles sont projetés, mais les grandeurs vectorielles reçoivent une dimension d'orientation non nulle — dont le choix en x, y, z est relativement arbitraire tant que ces choix se simplifient dans l'équation aux dimensions. La direction peut être par exemple « celle du problème » lorsqu'une seule direction est impliquée, mais devient « l'autre direction du plan » lorsqu'une deuxième intervient, et « la direction orthogonale aux deux autres » , en tant que de besoin.
Algèbre des orientations
Avec cette convention, Siano montre que ces symboles d'orientation suivent une algèbre propre, celle du groupe de Klein pour sa loi additive, donnée par : est l'élément neutre, donc . Ceci reflète le fait que la multiplication par un scalaire ne change pas l'orientation d'un vecteur. Chaque élément est son propre inverse, donc . Ceci reflète le fait que pour le produit scalaire de deux vecteurs, dont l'un est d'orientation , la seule composante du second qui intervient est la projection du second sur cette même orientation , toutes les autres composantes ayant une contribution nulle ; et le résultat est un scalaire d'orientation . La conséquence est donc que : , et , c'est-à-dire que seule la parité de l'orientation intervient dans la dimension d'une unité. La composée de deux grandeurs d'orientation différente (non scalaires) donne la troisième, c'est-à-dire pour les indices différents et non nuls. Ceci reflète le fait que dans le produit vectoriel de deux vecteurs, dont l'un est d'orientation , la seule composante du second qui intervient est la composante orthogonale d'orientation , la composante parallèle ayant une contribution nulle ; et le résultat est un nouveau vecteur d'orientation perpendiculaire aux deux premiers, donc d'orientation . Noter cependant que contrairement au produit vectoriel, la multiplication est commutative, le résultat ne change pas de signe lorsqu'on permute les deux orientations (puisqu'une orientation est son propre inverse) : .
Les grandeurs d'orientation présentent donc une forte analogie avec l'algèbre des quaternions, la différence essentielle étant que là où le produit de quaternions comporte un signe négatif traduisant une orientation des directions de l'espace dans un sens particulier, le produit des grandeurs d'orientation est toujours positif, distinguant entre trois dimensions, mais sans en préciser le sens.
Dimension d'une rotation
Avec ces considérations, Siano montre que l'angle, sans avoir une « dimension » au sens habituel du terme, peut cependant être porteur d'une « grandeur d'orientation » sans dimension, sur le plan géométrique.
Considérons en effet la figure géométrique classique d'un triangle rectangle, sur laquelle sont définies les différentes fonctions trigonométriques : par rapport à l'axe des x, un rayon du cercle unitaire fait un angle α. Le côté adjacent du triangle est une longueur portée par le premier axe des x, et a donc pour grandeur d'orientation géométrique . Le côté opposé est dans une direction perpendiculaire portée par un second axe des y, et a donc pour grandeur d'orientation géométrique . Par conséquent, la tangente de l'angle α, qui est le rapport du côté opposé au côté adjacent, a pour grandeur d'orientation géométrique .
De toute évidence, la fonction mathématique "tangente" ne peut pas par elle-même imposer une dimension à son résultat, fût-elle limitée à une grandeur d'orientation. Cette grandeur est donc héritée de la dimension propre que doit, par conséquent, avoir l'angle α.
Cette dimension d'orientation d'un angle doit en particulier laisser homogène la formule du développement de la fonction en série de Taylor :
Si donc une tangente est de dimension d'orientation , l'angle α doit donc nécessairement avoir cette même direction d'orientation . Ceci n'est possible que parce que cette dimension est son propre inverse : comme tous les termes en α sont de puissance impaire dans ce développement en série, ils ont tous la même dimension d'orientation , et l'ensemble de la somme est donc dans ce cas de dimension homogène. Ce ne peut pas être le cas pour des dimensions classiques comme les longueurs ou les masses, parce que ces grandeurs n'étant pas leur propre inverse, la série ne serait pas homogène et n'a donc pas de sens physique ; c'est pour cette raison qu'en général, une fonction mathématique ne peut s'appliquer qu'à une variable sans dimension.
Pour être parfaitement exact, ce n'est pas l'angle plan proprement dit qui a cette dimension (c'est-à-dire le gisement par rapport à une position de référence), mais l'écart angulaire qui traduit une rotation dans un espace à trois dimensions : une rotation est de dimension . Le même résultat peut s'obtenir directement en remarquant qu'en coordonnées polaires (r, α), une variation élémentaire dα entraîne un déplacement orthogonal dx=r.dα : dx étant de grandeur d'orientation géométrique par rapport à la distance r posée d'orientation , l'homogénéité de la formule impose que dα est de grandeur d'orientation géométrique , ce qui est donc ici la dimension du radian. La figure étant générique, c'est également la grandeur d'orientation attribuée conventionnellement aux rotations, donc à la grandeur d'écart angulaire.
Si ce raisonnement montre qu'un angle peut être porteur d'une dimension d'orientation, il n'en impose pas une en particulier, et l'assignation de telle orientation à telle grandeur physique est en réalité indifférente par rapport à une permutation circulaire des trois grandeurs d'orientation.
Grandeur d'orientation des fonctions
Fonctions trigonométriques
L'angle étant donc exprimé en unité de dimension d'orientation , on voit par un développement en série que le sinus est de même de dimension , tandis que le cosinus est un scalaire de dimension .
Ces deux dimensions sont différentes, ce dont on peut conclure, par exemple, qu'il ne peut pas y avoir de solution à une équation physique qui soit de la forme générale , où et seraient des scalaires, parce que cette formule ne serait alors pas homogène.