En géométrie euclidienne, le théorème de Routh exprime le rapport entre l'aire d'un triangle et celle du triangle formé par trois céviennes.
Énoncé Soit un triangle . Trois céviennes issues des trois sommets coupent les côtés opposés en , et découpent un triangle .
Si l'on pose : , , , alors les aires des triangles orientés et sont reliées par la formule :
Théorème de Routh|centré|427x427px Remarque : si les céviennes sont concourantes, l'aire du triangle est nulle, et l'on retrouve le théorème de Ceva (). Application : si , le rapport est de , triangle central du partage du triangle en sept triangles de même aire.
Démonstration Dans le cas où le triangle est intérieur au triangle , on applique le théorème de Ménélaüs au triangle , coupé par la droite () : . D'où .
L'aire du triangle vaut
Par permutation circulaire, on obtient et .
L'aire du triangle vaut donc :
Ou encore .
Une démonstration utilisant les coordonnées barycentriques et les déterminants permet d'avoir le cas général.
Origine Ce théorème porte le nom du mathématicien anglais Edward Routh, professeur à l'université de Cambridge, plus connu pour ses travaux sur la stabilité des systèmes d'équations différentielles (cf. le critère de Routh-Hurwitz.).
Routh donne ce théorème en 1891 dans A Treatise of Analytical Statics., puis le reprend dans son édition de 1896., édition plus répandue à laquelle les mathématiciens se réfèrent.
Cependant, ce problème apparaît dès 1879 dans Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878, solution vii., recueil d'exercices et de problèmes mathématiques destiné aux étudiants de Cambridge. La correction, donc la preuve du théorème, est due à J. W. L. GlaisherSelon les indications données 29..
Autres démonstrations Ce problème a donné lieu à de nombreuses démonstrations, dont on trouvera des exemples et une bibliographie dans l'article de Murray S. Klamkin et A. Liu " Three more Proofs of Routh's Theorem" dans Crux Mathematicorum., , pages 199 et suivantes.
En 2011, Ayoub B. Ayoub publie une nouvelle preuve dans l'article "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum - Chemin d'accès au document par Google Drive Folder..
Notes et références
Bibliographie . H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, énoncé p. 211, démonstration pp. 219–20, 2nd édition, Wiley, New York.
Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
Routh’s Formula by Cross Products sur MathPages Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.
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