En physique (mécanique), la flexion est la déformation d'un objet sous l'action d'une charge. Elle se traduit par une courbure. Dans le cas d'une poutre, elle tend à rapprocher ses deux extrémités. Dans le cas d'une plaque, elle tend à rapprocher deux points diamétralement opposés sous l'action.
L'essai de flexion d'une poutre est un essai mécanique utilisé pour tester la résistance en flexion. On utilise la flexion dite « trois points » et la flexion dite « quatre points ».
En chaudronnerie, le pliage d'une tôle est une flexion pour laquelle on veut dépasser la limite élastique du matériau, afin d'avoir une déformation définitive (déformation plastique). Dans la plupart des autres cas, on cherche au contraire les conditions nécessaires pour ne pas dépasser la limite élastique, afin de préserver l'intégrité de la pièce.
Cas d'une poutre
En théorie des poutres, on considère des fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de matières générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la poutre ») ; la courbe moyenne passe par les centres de gravité des sections droites (sections perpendiculaires à la courbe moyenne). Les fibres situées vers l'extérieur de la flexion sont en extension, elles sont soumises à de la traction. Les fibres situées à l'intérieur de la flexion sont en compression.
La fibre engendrée par la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur lors de la flexion.
Par la suite, sauf mention contraire, nous supposerons que la poutre est rectiligne avant la flexion (la courbe moyenne forme une droite) et que les sections sont symétriques. Nous considérerons au début la flexion plane, c'est-à-dire avec des charges agissant dans un plan de symétrie de la poutre.
Déformation
Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (lors de la déformation, les sections planes perpendiculaires à la fibre moyenne restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne), la fibre neutre a un allongement nul ; les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ; les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées. la déformation longitudinale ε varie de manière linéaire en fonction de y.
Par ailleurs, en considérant une poutre droite, si l'on appelle uy(x) la flèche, c'est-à-dire le déplacement vertical du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x en raison de la flexion, on a, d'après la définition générale du rayon de courbure : . Le graphique uy(x) donne la forme de la courbe moyenne, encore appelée « déformée de la poutre ».
Efforts de cohésion
Si l'on considère les efforts de cohésion (voir les articles Théorie des poutres et Torseur de cohésion), la flexion résulte des moments fléchissants Mfy et Mfz.
Nous considérerons ici la convention des efforts à droite.
On remarque que la valeur de l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position x du point considéré : .
Le diagramme des moments fléchissants peut être établi par la méthode du funiculaire.
Contraintes
Contrainte normale pour une poutre droite
Plaçons-nous dans le cas d'un moment fléchissant Mfz positif ; dans le plan (Gxy), les fibres sont concentriques, le centre O est situé vers le haut. La longueur de l'arc est proportionnelle au rayon, c'est-à-dire qu'elle varie linéairement en fonction de l'abscisse y considérée. De même, la contrainte normale à la section varie linéairement en fonction de y et l'on trouve : . où IGz est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section droite.
Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si l'on appelle -V l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut : . La grandeur IGz/V est appelée « module de flexion élastique » et est noté Wél. z : .
Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a
Si l'on retient comme limite le fait que la matière doit rester dans le domaine élastique, on a à la limite
où Re est la limite d'élasticité. Le moment fléchissant maximal limite est alors . Ceci sera utilisé pour comparer avec la flexion plastique.
Note Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, et que de toute manière le signe dépend de la convention choisie, on trouve souvent l'expression
Contrainte normale pour une poutre courbe
Nous supposons que la poutre est générée par une courbe plane, dans le plan (x, y), et que la fibre neutre reste dans ce plan au cours de la déformation. C'est le cas typique d'un crochet de levage. Le rayon de courbure local (au repos) est noté r(x).
Comme dans le cas de la poutre droite, sous l'effet du moment fléchissant, les sections droites tournent, les fibres sont étirées ou comprimées. Mais contrairement au cas précédent, les fibres n'ont pas la même longueur initiale. La répartition de la contrainte selon y n'est plus linéaire, mais hyperbolique, de la forme : .
Cisaillement
Dans la plupart des cas, le moment fléchissant s'accompagne d'un effort tranchant (Ty avec Mfz, Tz avec Mfy). Cela génère de la cission (τxy pour Ty et τxz pour Tz). Cette contrainte de cisaillement ne génère que peu de risque de rupture et est donc généralement négligée (modèle de Bernoulli).
La répartition des contraintes n'est pas uniforme : la contrainte sur une surface libre est nécessairement dans le plan de la surface, donc la cission sur les faces extérieure est nulle. On a donc une cission qui croît lorsque l'on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale vaut alors, si S est l'aire de la section droite : poutre de section rectangulaire pleine : ; poutre de section circulaire pleine : ; tube circulaire mince : ; où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2 fois supérieure au cas du cisaillement simple.
On note que la cission est maximale là où la contrainte normale est nulle (à la fibre neutre), et que la contrainte normale est maximale là ou la cission est nulle (sur les faces externes). On n'a donc pas de synergie entre les deux contraintes.
Calcul de la déformée
Nous avons vu ci-dessus que : la déformation par cisaillement est négligée ; la courbure γ et le rayon de courbure ρ sont déterminés en fonction du moment fléchissant Mfz, du facteur de forme IGz et du module de Young E :
la déformée uy est reliée à ρ et à γ selon l'équation différentielle : . On peut donc déterminer la déformée par intégration double : . Si la poutre est de section uniforme (IGz ne varie pas) de même matériau (E ne varie pas), on se contente d'intégrer le moment fléchissant :
où A et B sont des constantes d'intégration déterminées à partir des conditions limites : aux points de liaison, on a uy = 0 ; aux points d'encastrement, on a u’y = 0 ; si le problème est symétrique par rapport à la section droite médiane, on a u’y = 0 au centre de la poutre. On s'intéresse en général à la valeur maximale de uy, la « flèche » de la poutre, qui détermine l'état limite en service (ELS, valeur de chargement à ne pas dépasser pour que la forme de la poutre reste compatible avec sa fonction).
Note On trouve souvent la notation abusive EIGzy ’’ = Mfz. y désignant alors le déplacement. Par ailleurs, les expressions exactes sont :
et donc .
La déformée peut être établie graphiquement par la méthode du funiculaire.
Flexion en grande déformation
Lorsque le rayon de courbure ρ est inférieur à dix fois la hauteur h de la section ρ < h*10, les hypothèses ne sont plus valables. Si toutefois on considère que : les sections droites restent planes ; les contraintes normales à la section sont indépendantes des contraintes parallèles à la section ; alors la contrainte normale résultant du moment fléchissant devient
où S est l'aire de la section.
Flexion déviée
La flexion déviée est le cas où les charges ne font pas pivoter la section autour d'un axe principal de moment quadratique; il existe toujours au moins deux axes principaux de moment quadratique quelle que soit la section de la poutre.
Poutre symétrique
Dans le cas d'une poutre symétrique, on peut décomposer le vecteur moment de flexion en deux composantes Mfy et Mfz non nulles. Si l'on reste en petites déformations, le système est linéaire, on peut donc considérer que l'on a une superposition de deux flexions planes. La contrainte normale vaut donc . Le plan sur lequel la contrainte s'annule est appelé « plan neutre ».
Poutre non symétrique
On détermine les axes principaux d'inertie Y et Z (voir l'article Moment d'inertie), puis l'on se ramène au cas précédent en se plaçant dans le repère (GxYZ) : .
Cas isostatiques
Flexion trois points
La flexion trois points est un essai mécanique classique. Il représente le cas d'une poutre posée sur deux appuis simples (appuis linéaires rectilignes qui, dans un problème plan, équivalent à une liaison ponctuelle) et soumise à une charge concentrée, appliquée au milieu de la poutre avec elle aussi un contact simple. On modélise souvent un des appuis comme un pivot afin d'avoir une poutre qui ne se déplace pas horizontalement.
Dans la figure ci-contre, la poutre a une longueur L et la charge centrale est P.
L'effort tranchant est constant en valeur absolue : il vaut la moitié de la charge centrale, P/2. Il change de signe au milieu de la poutre. Le moment fléchissant varie de manière linéaire entre une extrémité, où il vaut 0, et le centre où sa valeur absolue vaut PL/4 ; c'est là que le risque de rupture est le plus important.
Le profil de la poutre est décrit par un polynôme du troisième degré (fonction en x) sur une moitié de poutre (l'autre moitié étant symétrique).
Les diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants sont traditionnellement représentés remplis de traits verticaux. Cela correspond au découpage des aires en trapèze utilisé pour la méthode graphique.
Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle
Ce cas est la généralisation de la flexion trois points : la charge n'est pas nécessairement appliquée au centre. Cela permet, par exemple, de représenter une charge roulante.
L'analyse entre une extrémité et le point d'application de la charge est la même que pour la flexion trois points, mais le problème n'est plus symétrique.
Poutre encastrée
Une poutre encastrée (, ), ou poutre en console, représente le cas d'une hampe de drapeau, d'un poteau scellé dans le sol, d'une poutre en porte à faux (par exemple une potence).
On peut remarquer qu'elle se comporte comme la moitié d'une poutre en flexion trois points, l'encastrement correspondant au centre. Le moment fléchissant maximal est au niveau de l'encastrement, c'est là que le risque de rupture est le plus important.
Flexion quatre points
La différence principale avec la flexion trois points se situe entre les deux charges : le moment fléchissant est constant et l'effort tranchant est nul. Cette situation est qualifiée de flexion pure ou flexion circulaire.
Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme
Une charge uniforme permet de décrire le poids propre de la poutre, ou encore le poids d'un liquide dans le cas d'une canalisation ou d'un réservoir.
Poutre sur deux appuis avec une charge répartie linéairement
Ce cas peut servir à décrire la charge sur un poteau soutenant un mur vertical ayant d'un côté de la terre ou de l'eau : la pression augmente avec la profondeur.
Méthode graphique
La résolution des problèmes de flexion isostatiques peut se faire graphiquement.
Cas hyperstatiques
Poutre appuyée et encastrée (degré 1)
Le cas d'une poutre appuyée et encastrée, par symétrie, est parfaitement identique au cas d'une poutre sur trois appuis à travées identiques (à l'appui, la pente est nulle et correspond à un encastrement).
Poutre sur trois appuis(degré 1)