En mathématiques, l'inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par Harold Shapiro en 1954.
Énoncé de l'inégalité Soit un entier naturel et soient des réels strictement positifs ; on suppose que
est pair et inférieur ou égal à , ou est impair et inférieur ou égal à .
L'inégalité de Shapiro énonce que
où .
Pour de plus grandes valeurs de l'inégalité n'a pas lieu et la borne inférieure stricte est où . Les décimales de cette constante forment la .
Les démonstrations initiales de l'inégalité dans les cas par Godunova et Levin en 1976 et par Troesch en 1989 reposent sur des calculs numériques. En 2002, P. J. Bushell et J. B. McLeod publient une démonstration analytique pour .
La valeur de a été déterminée en 1971 par Vladimir Drinfeld à l'age de 17 ans, plus tard lauréat de la médaille Fields en 1990. Plus précisément, Drinfeld a montré que la constante est égale à , où est l'enveloppe convexe de et .
Contre-exemples pour de grands Le premier contre-exemple a été trouvé par M. J. Lighthill en 1956, pour :
où est près de 0.
Ainsi, le membre de gauche vaut , donc inférieur à 10 quand est assez petit.
Le contre-exemple suivant pour est de Troesch :
.
Voir aussi
Articles connexes
Inégalité de Nesbitt, cas particulier
Liens externes
Énoncé et corrigé du problème d'entrée à l'ENS Ulm de 1997 qui traite de cette inégalité. Références
. Les auteurs donnent une démonstration analytique de la formule pour un entier pair , d'où le résultat suit pour tout . Ils présentent le cas comme un problème ouvert.
Shapiro