L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl — par exemple dans sa thèse de habilitation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems de 1908 — et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.
Énoncés
Suite de nombres réels Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant. :
De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur ; le facteur est dû à son élève Issai Schur. Le facteur a été lui-même remplacé par dans un article de H. Frazer. de 1946. D. V. Widder a donné la précision supplémentaire. :
Suite double Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'Encyclopædia of MathematicsHilbert inequality. Encyclopedia of Mathematics. :
Fu Cheng Hsiang. a démontré l'inégalité suivante pour des suites de nombres réels positifs :
Suite de nombres complexes Une deuxième série d'énoncés concerne des suites de nombres complexes. L'inégalité de Hilbert est la suivante, d'après Steele :
Pour une suite double, on a :
Variante Une variante avec les sommes remplacées par des intégrales :
Bibliographie
Notes et références
Hilbert