Le théorème de Beatty est un théorème d'arithmétique publié en 1926 par le mathématicien canadien Samuel Beatty (mais déjà mentionné par Lord Rayleigh en 1894) qui donne une condition nécessaire et suffisante sur deux réels pour que les deux suites de Beatty associées partitionnent ℕ*.
Énoncé Il affirme l'équivalence des deux points suivants, pour deux nombres réels et strictement positifs :
Les nombres et sont irrationnels et vérifient Les deux suites d'entiers et , dites « suites de Beatty », forment une partition de l'ensemble ℕ*Voir par exemple (Theorem 3.7) ou ..
Ce résultat ne se généralise pas : il est impossible de partitionner ℕ* avec trois suites ou plus de cette formeVoir par exemple (Theorem 3.14), ou .. Une question plus générale est la conjecture de Fraenkel..
Exemple
L'un des premiers exemples connus a été découvert dès 1907 par le mathématicien néerlandais Wythoff, indépendamment du théorème de Beatty. Pour le nombre d'or, nous avons :
Les deux suites obtenues sont alors : , n > 0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... , n > 0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ...
Les couples apparaissent dans la résolution du jeu de Wythoff et caractérisent les positions à partir desquelles le joueur qui n'a pas le trait peut forcer sa victoire.
Références
Voir aussi Articles connexes Ensemble récursif Mot sturmien Théorème de Lambek-Moser
Liens externes Pages contenant des applets pour calculer les termes de la suite de Beatty, ou pour déterminer p et q en fonction des termes de la suite
Ouvrages Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1, Cassini
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