En mathématiques récréatives, le problème de l'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques en nombre dans le triangle équilatéral le plus petit possible.
Des solutions optimales sont connues pour et lorsque est un nombre triangulaire, et des conjectures sont disponibles pour ....
Exemples Voici les solutions minimales pour un nombre de cercles inférieur ou égal à 15 :
Nombre de cercles Longueur du côté du triangle FigureDensité de l'empilement 1 sans_cadre|120x120px, 2 sans_cadre|120x120px 3 empilement hexagonal 4 5 6 empilement hexagonal 7 sans_cadre|120x120px 8 sans_cadre|120x120px 9 sans_cadre|120x120px 10 empilement hexagonal 11 centré|sans_cadre|120x120px 12 sans_cadre|120x120px 13 sans_cadre|120x120px 14 sans_cadre|120x120px 15 empilement hexagonalempilement hexagonal
Cas d'un nombre triangulaire de cercles Lorsque est un nombre triangulaire il a été démontré en 1975 que le rangement en empilement hexagonal fournit l'empilement optimal. La densité de l'empilement tend vers , densité de l'empilement hexagonal dans le plan.
Cas d'un nombre triangulaire moins 1 de cercles Lorsque , Paul Erdős et Norman Oler ont conjecturé en 1961 que l'empilement optimal est obtenu en supprimant un cercle dans l'empilement hexagonal optimal de cercles.. Ceci a été démontré en 1997 pour ., mais reste à l'état de conjecture pour le cas général.
Problème lié Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible..
Voir aussi Problème de Malfatti, une construction donnant la solution optimale pour trois cercles dans un triangle quelconque.
Références
Cercles Catégorie:Cercle Catégorie:Triangle Catégorie:Conjecture non résolue