En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme. Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire.
En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang.
Le théorème du rang
vignette|Le théorème du rang. Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f).
Une autre démonstration, constructiveCette précision est utilisée dans l'article Endomorphisme nilpotent., consiste à vérifier que pour toute base (u) du noyau et toute base (f(u)) de l'image — indexées par des ensembles S et T disjoints —, (u) est une base de E : cette famille est génératrice : pour tout vecteur x, en notant xt les coordonnées de f(x) dans la base de l'image, et xs celles de x – ∑xu dans la base du noyau, on obtient x = ∑xu ; elle est libre : si une combinaison linéaire ∑xu est nulle alors, en prenant l'image par f, 0 + ∑ xf(u) = 0, donc par indépendance des f(u) les x sont nuls, si bien que l'hypothèse de départ se simplifie en ∑ xu = 0, dont on déduit, par indépendance des us, que les xs sont nuls aussi.
Application à la caractérisation des isomorphismes Lorsque les espaces vectoriels E et F sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir.Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, p. 250, corollaire 1. l'équivalence entre les propriétés suivantes : l'application f est un isomorphisme de E sur F ; l'application f est surjective. l'application f est injective ; le rang de f est égal à n.
Cas particulier des endomorphismes
Soit une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie dans lui-même. On a comme précédemment la relation : , d'où l'on déduit que et sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.
Cas des matrices
Si A est une matrice (m, n) sur un corps K, alors . où est le noyau de la matrice A défini par
qui est un sous-espace vectoriel de .
Si U est l'application linéaire de K dans K canoniquement associée à la matrice A, alors a la même dimension que , on peut donc écrire le théorème du rang ci-dessus sous la forme suivante:
Autres formulations et généralisations Généralisations Ce théorème est une forme particulière du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.
Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante : si
est une suite exacte courte d'espaces vectoriels, alors
Ici, F joue le rôle de et D celui de .
Cette formulation peut être généralisée à une suite exacte de longueur quelconque (éventuellement infinie) : si
est une suite exacte d'espaces vectoriels, alors
ce qui, lorsque les seuls non nuls sont ceux tels que et sont de dimensions finies, se réécrit :
Interprétation par la notion d'indice Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire de E dans F, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par où coker désigne le conoyau de .
Intuitivement, est le nombre de solutions indépendantes x de l'équation (x) = 0, et est le nombre de restrictions indépendantes sur y ∈ F pour rendre l'équation (x) = y résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition
Cela signifie que l'indice est indépendant de la fonction choisie dans L(E, F). Ce résultat est généralisé par le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.
Notes et références
Catégorie:Application linéaire Rang