En géométrie plane, les théorèmes de Miquel sont des théorèmes concernant des cercles concourants.
Les énoncés
Réciproque : si est un triangle, et si sont trois points situés respectivement sur (BC), (CA) et (AB) alors les cercles circonscrits aux triangles AEF, BDF et CDE se rencontrent en un point .
Le point est appelé le point de Miquel associé au triangle et aux points , les trois cercles appelés cercles de Miquel, et le triangle l'un des triangles de Miquel associé au point . Par exemple, le triangle podaire du point est l'un des triangles de Miquel du point .
Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.
Cercle de Miquel
Les centres O1, O2, O3, O4 des quatre cercles et le point de Miquel M sont cocycliques.
Le cercle contenant ces cinq points est appelé cercle de Miquel.
Remarques historiques Auguste Miquel a publié une partie de ces théorèmes dans les cahiers de Liouville (Journal de mathématiques pures et appliquées) en 1838.
Le premier théorème de Miquel est un résultat classique connu bien avant lui utilisant le théorème de l'angle inscrit.
Le nom de point de Miquel est attribué au point de concours des quatre cercles d'un quadrilatère complet mais la propriété était connue déjà par Jakob Steiner (1828) et même probablement par William Wallace.
Le théorème des cinq cercles (ou des six cercles) est un cas particulier d'un théorème général énoncé et démontré par le mathématicien William Kingdon Clifford. Ce problème est revenu au goût du jour à la suite d'un défi lancé en 2002 par le président chinois Jiang Zemin lors d'un congrès de mathématiciens à Pékin en 2002. Il fut repris par Alain Connes lors d'un séminaire en .
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Théorème des trois cercles (homonymie)
Liens externes Démonstrations de Miquel Démonstrations de Miquel Réciproque du théorème des cinq cercles Démonstration à l'aide des complexes
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