En analyse les identités de Green sont trois identités du calcul vectoriel reliant une intégrale définie dans un volume et celle définie sur le bord de ce volume. Ces relations sont dues à George Green.
Première identité de Green Soient et des fonctions scalaires définies sur le domaine , limité par le domaine de normale n, orientée vers l'extérieur du domaine, telles que soit au moins deux fois différentiables et une fois. La première identité s'obtient par le théorème de flux-divergence appliqué au champ de vecteurs en utilisant l'identité :
Seconde identité de Green Si et sont deux fois continument différentiables dans et une fois alors en prenant on obtient :
Si l'on prend alors :
En particulier ceci montre que le laplacien est un opérateur auto-adjoint pour le produit intérieur dans le cas de fonctions s'annulant sur la limite du domaine.
Troisième identité de Green Si on choisit où la fonction de Green est une solution du laplacien, c'est-à-dire :
Par exemple si dans une solution est de forme :
La troisième identité de Green dit que si est deux fois continument différentiable alors :
Si de plus est une fonction harmonique, donc solution de l'équation de Laplace on a :
Dans le cas d'une condition aux limites de Dirichlet s'annule au bord du domaine et :
Si est solution de l'équation de Helmholtz et la fonction de Green correspondante alors cette expression conduit au principe de Huygens-Fresnel.
Variétés différentielles Les deux premières identités de Green s'étendent à des variétés riemanniennes :
où et sont des fonctions lisses à valeurs réelles sur , est le volume associé à la métrique, est le volume correspondant sur le bord de et est le champ de vecteurs normaux.
Références
Voir aussi Opérateur de Laplace-Beltrami Théorème de Malgrange-Ehrenpreis Théorème de réciprocité (électrostatique) Théorème intégral de Kirchhoff
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