En arithmétique modulaire, une racine k-ième de l'unité modulo n, pour des entiers k, n ≥ 2, est une racine de l'unité dans l'anneau ℤ/nℤ, c'est-à-dire une solution de l'équation . Si k est l'ordre de modulo n, alors est appelé racine k-ième primitive de l'unité modulo n..

Les racines primitives modulo n sont les racines -ièmes primitives de l'unité modulo n, où est l'indicatrice d'Euler.

Racines de l'unité

Propriétés

Modulo n, si x est une racine k-ième de l'unité, alors x est inversible (d'inverse x). Autrement dit, x et n sont premiers entre eux. Modulo n, si x est inversible, alors c'est une racine k-ième primitive de l'unité modulo n, où k est l'ordre multiplicatif de x modulo n. Si est une racine k-ième de l'unité et n'est pas un diviseur de zéro, alors . En effet, .

Nombre de racines k-ièmes Nous désignons le nombre de racines -ièmes de l'unité modulo par . Il satisfait un certain nombre de propriétés : pour ; où λ désigne l'indicatrice de Carmichael et l'indicatrice d'Euler ; est une fonction multiplicative ;

où désigne le plus petit multiple commun ; pour premier, . L'application n'est pas précisément connue. Si elle l'était, alors avec le point précédent, elle fournirait un moyen d'évaluer rapidement.

Racines primitives de l'unité

Propriétés L'exposant maximum pour une racine primitive modulo n est λ(n), où λ désigne l'indicatrice de Carmichael. Chaque diviseur k de λ(n) donne une racine k-ième primitive de l'unité. En effet, si k divise λ(n) et une racine λ(n)-ième de l'unité (qui doit exister par définition de λ), alors convient. S'il existe une racine k-ième primitive de l'unité qui est également une racine ℓ-ième de l'unité (non nécessairement primitive), alors k divise ℓ.

Nombre de racines k-ièmes primitives Nous désignons le nombre de racines k-ièmes primitives de l'unité modulo n par . Cette fonction satisfait les propriétés suivantes :

pour ; pour ; pour et ;

Le lien entre et peut être écrit de manière élégante en utilisant une convolution de Dirichlet : , c'est-à-dire .

Notes et références

Catégorie:Arithmétique modulaire