L'inégalité de Hardy est une inégalité en mathématiques, portant le nom de G. H. Hardy. Ce résultat énonce que si est une suite de nombres réels positifs ou nuls, alors pour tout nombre réel on a

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vérifiée si et seulement si pour tout .

Une version intégrale de l'inégalité de Hardy énonce ce qui suit : si est une fonction mesurable à valeurs positives définie sur , alors

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vraie si et seulement si presque partout.

L'inégalité de Hardy a été publiée et prouvée pour la première fois (du moins la version discrète avec une constante moins précise) en 1920 dans une note de Hardy. La formulation originale était sous une forme intégrale légèrement différente de la précédente.

Version générale avec poids On a une version générale de l'inégalité de Hardy avec poids : Si , alors

Si , alors

Version multidimensionnelle Dans le cas multidimensionnel, l'inégalité de Hardy peut être étendue aux espaces , prenant la forme

où , et où la constante est optimale.

Démonstration de l'inégalité

Version intégrale Un changement de variables donne qui est inférieur ou égal à par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à

Version discrète En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir quand . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à . Cela permet de construire une suite décroissante contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant si et autrement. En effet, on a

et pour , on a

(la dernière inégalité équivaut à , ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc

Voir également

Inégalité de Carleman

Notes

Bibliographie

Michiel Hazewinkel, ed. Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001

Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (eds.), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011

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