En mathématiques, la conjecture de Carmichael concerne la multiplicité des valeurs de l'indicatrice d'Euler , dénombrant le nombre d'entiers de 1 à premiers avec . Elle énonce que, pour tout , il y a au moins un autre entier tel que . Robert Carmichael a énoncé cette conjecture pour la première fois en 1907, en tant que théorème, pensant l'avoir démontrée. Il la déclara ensuite comme problème ouvert en 1922.
Exemples L'indicatrice est égale à 2 lorsque vaut 3, 4 ou 6.
De même, l'indicatrice est égal à 4 lorsque vaut 5, 8, 10 ou 12, et est égal à 6 lorsque vaut 7, 9, 14 ou 18. Dans chaque cas, il existe plus d'une valeur de ayant la même valeur .
La conjecture affirme ainsi que cela est vrai pour tout . k n tels que φ(n) = k ; nombre de tels n : 1 1, 2 2 2 3, 4, 6 3 4 5, 8, 10, 12 4 6 7, 9, 14, 18 4 8 15, 16, 20, 24, 30 5 10 11, 22 2 12 13, 21, 26, 28, 36, 42 6 16 17, 32, 34, 40, 48, 60 6 18 19, 27, 38, 54 4 20 25, 33, 44, 50, 66 5 22 23, 46 2 24 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90 10 28 29, 58 2 30 31, 62 2 32 51, 64, 68, 80, 96, 102, 120 7 36 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126 8 40 41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150 9 42 43, 49, 86, 98 4 44 69, 92, 138 3 46 47, 94 2 48 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210 11 52 53, 106 2 54 81, 162 2 56 87, 116, 174 3 58 59, 118 2 60 61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198 9 64 85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240 8 66 67, 134 2 70 71, 142 2 72 73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270 17
Bornes inférieures Il existe bornes inférieures assez élevées qui sont relativement aisées à déterminer. Carmichael a prouvé que tout contre-exemple de sa conjecture doit être supérieur à 1037, et Victor Klee a étendu ce résultat à 10 400. Une borne inférieure égale à a été donnée par Schlafly et Wagon, et une autre de a été déterminé par Kevin Ford en 1998Sándor & Crstici (2004) p. 228.
Les méthodes permettant d'atteindre de telles bornes inférieures reposent sur quelques résultats clés de Klee qui permettent de montrer que le plus petit contre-exemple doit être divisible par les carrés des nombres premiers divisant son indicatrice d'Euler. Les résultats de Klee impliquent que 8 et les nombres premiers de Fermat (nombres premiers de la forme 2k + 1) excluant 3 ne divise pas le plus petit contre-exemple. Par conséquent, prouver la conjecture équivaut à prouver que la conjecture est vraie pour tous les entiers congrus à 4 modulo 8.
Autres résultats Ford a également prouvé que s'il existe un contre-exemple à cette conjecture, alors une proportion positive (au sens de densité asymptotique) des nombres entiers sont également contre-exemples.
Bien que la conjecture soit largement acceptée, Carl Pomerance a donné une condition suffisante pour qu'un entier soit un contre-exemple de la conjecture . Selon cette dernière, est un contre-exemple si pour tout premier p tel que p − 1 divise φ(n), p 2 divise . Cependant, Pomerance a montré que l'existence d'un tel entier est très improbable. En effet, on peut montrer que si les k premiers p sont congrus à 1 (mod q) (où q est un nombre premier) et tous inférieurs à q k +1, sera en fait divisible par tout nombre premier, ce qui n'est pas possible. Cependant, montrer que le contre-exemple de Pomerance n'existe pas ne permet pas de prouver la conjecture de Carmichael. Cependant, s'il existe, il existe une infinité de contre-exemples, comme nous l'avons vu.
Une autre façon de formuler la conjecture de Carmichael est que, si A(f) désigne le nombre d'entiers positifs pour lesquels φ(n) = f, alors A(f) ne vaut jamais 1.
Wacław Sierpiński a conjecturé que tout entier positif autre que 1 apparaît comme valeur de A(f) ; cette conjecture a été prouvée en 1999 par Kevin FordSándor & Crstici (2004) p. 229.
Notes
Références
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Liens externes Weisstein, Eric W. "Carmichael's Totient Function Conjecture". MathWorld.
Catégorie:Conjecture non résolue