En analyse, lantilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique. Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.
Définition Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme
avec , , ..., , des constantes et , ..., , des fonctions. Dans le cas où ne converge pas, Shanks désigne comme lantilimite de la suite et dit que « diverge de ».
Par prolongement analytique On se place dans le cas où la suite est une série divergente :
On considère la série génératrice liée :
Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon , il existe une fonction telle :
Cette fonction peut être définie hors du disque de convergence, notamment en et y avoir une valeur finie. Cette valeur est alors appelée antilimite de la série .
Exemples Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi
ou la série alternée des entiers
La suite de sommes partielles
est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :
pris en , qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, est l'antilimite de la série :
Voir aussi Vitesse de convergence des suites Prolongement analytique
Références
Catégorie:Série divergente