En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement ; la formule d'inversion de Lagrange, connue aussi sous le nom de formule de Lagrange-Bürmann, en est un cas particulier donnant le développement en série de Taylor de la bijection réciproque d'une fonction analytique.
Formule générale Si est une fonction de , de et d'une fonction indéfiniment dérivable, telle que
alors pour toute fonction indéfiniment dérivable, on a
pour petit, si la série converge (voir plus loin pour la version formelle de cette identité).
Si est la fonction identité on obtient alors
Cas particuliers Cas de la bijection réciproque Si on prend et où est une fonction analytique telle que et , on obtient la relation et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction , à savoir :
les dérivées étant calculées en .
Plus précisément, soit une fonction (de variable complexe) analytique au point telle que . On peut alors résoudre l'équation en , pour appartenant à un voisinage de , obtenant , où est analytique au point . On dit que est obtenu par inversion de série.
Le développement en série de est donné par, chap. 3.6.6. : « Lagrange's Expansion », p. 14
Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où (l'inverse étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.
Ce théorème fut démontré par Lagrange (soumis en 1768) et généralisé par . Pour un résumé de cet article, cf. , soumis à l'Institut National de France. Le manuscrit de Bürmann est conservé dans les archives de l'École nationale des ponts et chaussées à Paris à la fin du . On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directeVoir l'article anglais sur les séries formelles.
Formule de Lagrange-Bürmann
Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à et . Prenant et , on obtient
ce qui peut aussi s'écrire
où désigne le coefficient de dans l'expression qui le suit.
Une généralisation utile de cette formule est connue comme la formule de Lagrange–Bürmann : , où peut être une série formelle ou une fonction analytique arbitraire, par exemple .
Applications Fonction W de Lambert
La fonction W de Lambert est la fonction définie par l'équation implicite
Le théorème de Lagrange permet de calculer la série de Taylor de près de . Prenant et , on remarque que
ce qui donne
Le rayon de convergence de cette série est (ce qui correspond à la branche principale de la fonction de Lambert).
On peut obtenir une série ayant un plus grand rayon de convergence par la même méthode : la fonction vérifie l'équation
Développant en série et inversant celle-ci, on obtient pour :
peut s'en déduire en substituant à dans cette série. Par exemple, prenant , on trouve à 10-6 près.
Combinatoire analytique
Soit le nombre d'arbres binaires (non étiquetés) ayant n nœuds.
Retirer la racine d'un arbre le décompose en deux arbres plus petits ; on en déduit que la fonction génératrice vérifie l'équation fonctionnelle :
Posant , cette équation se réécrit :
On peut donc appliquer le théorème avec :
On en déduit que est le n-ème nombre de Catalan.
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Article connexe
Formule de Faà di Bruno
Liens externes
sur l'équation du temps contenant une application à l'équation de Kepler
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