Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son -développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998..
Définition Étant donné un nombre réel > 1, la série
est appelée une -expansion, ou -expansion, du nombre réel positif si, pour tout , , où est la partie entière de et peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel tel que possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.
Le cas particulier où , , et ou pour , est parfois appelé un -développement de 1. Dans le cas où pour , la seule valeur possible de est = 2. Cependant, pour presque tout , il existe un nombre infini de -développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des pour lesquels il n'existe qu'un seul -développement. De plus, il existe un plus petit nombre , connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti, pour lequel il existe un unique -développement de 1..
Valeur La constante de Komornik-Loreti est la quantité telle que
où est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de . Elle a pour valeur
.
La suite de ses décimales est donnée par la .
La constante est aussi la seule racine réelle positive de
Cette constante est un nombre transcendant.
Voir également Constante d'Euler-Mascheroni Mot de Fibonacci Suite de Rudin-Shapiro Constante de Prouhet-Thue-Morse
Notes et références
Komornik-Loreti Catégorie:Nombre transcendant