En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples La suite est à divisibilité faible si pour tous entiers , > 0, est un multiple de , ou, autrement dit :

.

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant , une telle suite vérifie donc pour tous , m :

.

Un exemple simple en est la suite avec et entiers, car est divisible par d'après la formule de Bernoulli.

La suite est à divisibilité forte si pour tous entiers , m > 0,

.

Dans le cas où l'application est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible, confondent ces deux notions. car si et seulement si .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type car .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

Exemples Toute suite de Lucas du premier type est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si et sont premiers entre eux.. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

La suite de Fibonacci . La suite de Pell . La suite des nombres de Mersenne . Plus généralement la suite des répunit en base b . Encore plus généralement la suite avec et entiers premiers entre eux.

Notes et références

Voir aussi

Les , qui sont à divisibilité faible. Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.

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