Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant :
Démonstration Soit un élément non nul d'une telle algèbre, dont l'unité sera notée .
donc
ce qui démontre d'après la règle de Cauchy que le rayon de convergence de la série entière
est fini.
Or cette série converge sur tout disque de centre inclus dans le domaine de définition de la fonction . Ainsi, il existe un complexe tel que soit non inversible et donc puisque l'algèbre étant supposée être un corps, le seul élément non inversible est 0.
Remarque.
L'existence d'un complexe tel que soit non inversible, c'est-à-dire d'une valeur spectrale de , peut aussi se déduire du fait que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe n'est jamais vide.
Histoire Mazur a annoncé en 1938S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », Annales de la Société polonaise de mathématiques, vol. 17, juin 1938, p. 112S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », CRAS, vol. 207, novembre 1938, p. 1025-1027 le théorème plus général suivant : Toute ℝ-algèbre associative normée à division est isomorphe à ℝ, ℂ, ou ℍ. Sa preuve – bien que très succincte – était trop longue pour être acceptée par l'éditeur, mais il en transmit les détails à son élève , qui les publia en 1968dans son livre Algebry Banacha (en polonais), traduit en anglais en 1973.
C'est donc Gelfand qui donna, en 1941 I. Gelfand, « Normierte Ringe », dans Mat. Sb., vol. 51, 1941, 3-24, la première preuve publiée de l'énoncé, mais sous sa forme simplifiée (pour une ℂ-algèbre complèteDe plus, les algèbres qu'il considérait étaient commutatives, mais la preuve de ce résultat n'utilisait pas cette propriété : ) permettant d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes (à valeurs dans un espace de dimension infinie mais se ramenant au cas usuel par le théorème de Hahn-Banach).
Notes et références
Articles connexes Théorème de Frobenius de 1877 Théorème de Frobenius généralisé
Gelfand