Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le à Breselenz, royaume de Hanovre, mort le à Selasca, hameau de la commune de Verbania, royaume d'Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et au calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale..
Biographie Enfance Bernhard Riemann est né à Breselenz, un village du royaume de Hanovre. Son père, Friedrich Bernhard Riemann, pasteur luthérien, a combattu dans l'armée napoléonienne.
Sa mère, Charlotte Ebell, décède avant que ses enfants n'atteignent l’âge adulte. Cette perte, ajoutée à des conditions de vie difficiles, marque profondément la famille Riemann, qui souffre toute sa vie de sévères privations.
Comme Bernhard en témoigne plus tard, son enfance, partagée avec son frère et ses quatre sœurs, bien que pleine d'amour, est marquée par le manque de nourriture et de soins médicaux. Ces carences semblent avoir contribué au décès prématuré de Bernhard, mort de la tuberculose, ainsi qu’à celui de son frère et de ses sœurs, tous disparus à un âge similaire.
Dans un premier temps, les enfants Riemann reçoivent un enseignement primaire à domicile. Bernhard se distingue rapidement par un talent exceptionnel pour les mathématiques : il résout sans difficulté tous les problèmes arithmétiques que lui propose son père, tout en inventant lui-même des problèmes toujours plus complexes et variés.
Éducation Lorsque Bernhard a dix ans, son père engage un professeur particulier pour lui enseigner la géométrie et l'arithmétique.
En 1840, Bernhard s’installe à Hanovre pour vivre chez sa grand-mère et fréquenter le Lyceum (collège), qu'il intègre directement en troisième année.
Après le décès de sa grand-mère en 1842, il part à Lunebourg pour poursuivre ses études secondaires.
Au Johanneum Gymnasium ses professeurs (lycée), sont étonnés par ses capacités exceptionnelles à résoudre des problèmes complexes en mathématiques. Riemann découvre les mathématiques supérieures grâce à son professeur, Schmalfuss, qui lui offre un accès libre à sa bibliothèque personnelle.
En 1846, à l'âge de 19 ans, Bernhard intègre l’université de Göttingen grâce au soutien financier de sa famille. Il y commence des études en philosophie et théologie dans l’objectif de devenir pasteur pour subvenir aux besoins de sa famille. Bien qu’il étudie la Bible avec intensité, il est irrésistiblement attiré par les mathématiques. Après avoir assisté aux cours de Carl Gauss, il ne peut ignorer sa vocation et demande l’autorisation de son père pour se consacrer pleinement aux mathématiques.
Riemann excelle à l'Université de Göttingen, mais il y reste peu de temps. En 1847, il rejoint l'Université Frédéric-Guillaume de Berlin afin de compléter sa formation dans des disciplines pour lesquelles Göttingen manque de professeurs compétents. À Berlin, il suit les enseignements de prestigieux mathématiciens tels que Jacobi, Steiner et Dirichlet.
En 1849, il retourne à Göttingen, où il commence sa thèse de doctorat, sous la direction de Gauss. En , il soutient sa thèse intitulée Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe. qui pose les bases de la topologie moderne et fait l'unanimité du jury.
Gauss dit de lui, après la soutenance de sa thèse ..
Carrière Sa carrière scientifique ne dura qu'un peu plus de dix ans : elle débute en 1849, lorsqu'il commence sa thèse doctorale, et se termine prématurément au début des années 1860, avec la rédaction de ses derniers articles. Au début des années 1850, le souhait le plus cher de Riemann est de devenir professeur de mathématiques ou de physique à l'université de Göttingen. Dans ce but, il doit produire un travail supplémentaire appelé Thèse d'habilitation. qui consiste à effectuer des recherches préliminaires sur trois sujets très différents les uns des autres qu'il choisit lui-même. Au tout début de 1854, il est en mesure de communiquer à son maître ses premier, deuxième et troisième choix. Gauss voit d'emblée que la troisième proposition contient en germe une idée importante et innovante à laquelle il avait déjà réfléchi, même s'il n'avait jamais rien publié à ce sujet. En soutenant cette thèse le , Riemann fonde la géométrie riemannienne qui servira de cadre mathématique à la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein.
Après avoir soutenu sa thèse d'habilitation en 1854, Riemann prend du repos à Quickborn où il vit toujours avec ses parents, son frère et certaines de ses sœurs. En septembre, il commence à travailler à l'université de Göttingen en qualité d'enseignant rémunéré. Il est désormais en mesure, malgré ses faibles revenus, d'aider financièrement tous les membres de sa famille. Le , Gauss décède ; preuve du respect que Riemann a gagné à Göttingen, certains collègues suggèrent qu'il reprenne la chaire du mathématicien allemand, mais la chaire est proposée à Dirichlet, qui l'accepte et quitte Berlin pour occuper son nouveau poste. Riemann obtient cependant un salaire régulier et poursuit ses recherches en physique. Il publie en 1855 un article sur « La théorie des anneaux colorés de Nobili » et, peu de temps après, il est atteint de surmenage, souffre de dépression nerveuse et doit, sur avis médical, passer quelques mois de repos dans la région montagneuse du Harz. En 1857, il réintègre l'université.
Le , à la suite de la mort de Dirichlet, il est promu à la tête du département de mathématiques de l'université de Göttingen. Peu de temps après, il est élu membre de l'Académie des sciences de Berlin.
Dernières années vignette|La pierre tombale de Riemann à Biganzolo dans le Piémont, en Italie. En , il épouse Elise Koch, une amie proche de ses sœurs. En , il contracte une pleurite qui évolue rapidement en tuberculose. Sa santé ne s'améliorant pas avec le temps, il se rend avant l'hiver en Italie où il recouvre quelque peu la santé. En , il retourne à Göttingen pour y reprendre ses devoirs académiques mais il est contraint de repartir quelques mois plus tard dans la péninsule italienne. Durant ce nouveau séjour méditerranéen, naît sa fille Ida.
Deux ans plus tard, en , Riemann revient pour la dernière fois de sa vie à Göttingen. Il se réunit avec quelques-uns de ses collègues et met de l'ordre dans ses affaires avant de retourner en Italie. Il quitte Göttingen avant que les armées de Hanovre et de Prusse s'affrontent en 1866D'après Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers, 491 pages, éditions du Seuil (2007), coll. Points Sciences.. Il meurt de tuberculose en Italie, à Selasca (aujourd'hui un hameau de Verbania sur le lac Majeur), où il est enterré au cimetière de Biganzolo (Verbania).
Riemann était un chrétien dévoué, le fils d'un ministre protestant, et a vu sa vie en tant que mathématicien comme une autre manière de servir Dieu. Au cours de sa vie, il a tenu étroitement à sa foi chrétienne et l'a considérée comme l'aspect le plus important de sa vie. Au moment de sa mort, il récitait la Prière du Seigneur avec sa femme et mourut avant qu'ils aient fini la prière. Pendant ce temps, à Göttingen, sa femme de ménage a jeté quelques-uns des papiers dans son bureau, y compris beaucoup de travail inédit. Riemann a refusé de publier un travail incomplet, et certaines idées profondes ont peut-être été perdues pour toujours.
La pierre tombale de Riemann à Biganzolo (Italie) se réfère au Huitième chapitre de l'Épître aux Romains dans le Nouveau Testament de la Bible chrétienne (« Et nous savons que toutes choses concourent au bien de ceux qui aiment Dieu, à ceux qui sont appelés selon son dessein »)
Ici repose en Dieu Georg Friedrich Bernhard Riemann Professeur à Göttingen né à Breselenz, Allemagne mort à Selasca, Italie Ceux qui aiment Dieu, doivent travailler de leur mieux en toutes choses.
Travaux L'œuvre de Riemann, créée en une dizaine d'années seulement, s'est avérée l'une des plus importantes du . Ses contributions portent aussi bien en géométrie complexe et différentielle qu'en théorie des nombres.
Il est le premier à suggérer d'utiliser des dimensions supérieures à trois ou quatre pour décrire la réalité physiqueWerke, , edition of 1876, cited in Pierpont, Non-Euclidean Geometry, A Retrospect. Lors de sa soutenance d'habilitation, en 1854, orienté par Gauss, il donne un exposé, intitulé Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (), qui jette les bases de la géométrie différentielle. Il y introduit la bonne façon d'étendre à n dimensions les résultats de Gauss lui-même sur les surfaces. Cette soutenance a profondément changé la conception de la notion de géométrie, notamment en ouvrant la voie aux géométries non euclidiennes et à la théorie de la relativité générale.
On lui doit également d'importants travaux sur les intégrales, poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu'on appelle aujourd'hui les intégrales de Riemann. Intéressé par la dynamique des fluides, il jette les bases de l'analyse des équations aux dérivées partielles de type hyperbolique et résout un cas particulier de ce qu'on appelle maintenant le problème de Riemann en introduisant les invariants de Riemann.
Riemann est par ses travaux, à plusieurs égards, un successeur de Leonhard EulerA. Papadopoulos, Looking backward: From Euler to Riemann, In: From Riemann to differential geometry and relativity (L. Ji, A. Papadopoulos and S. Yamada, ed.) Berlin: Springer, ..
On doit à aussi à Bernhard Riemann d'importants travaux en physiqueA. Papadopoulos, Physics in Riemann's mathematical papers, In: From Riemann to differential geometry and relativity (L. Ji, A. Papadopoulos and S. Yamada, ed.) Berlin: Springer, ..
Géométrie complexe Dans sa thèse, présentée en 1851, Riemann met au point la théorie des fonctions d'une variable complexe, introduisant notamment le concept des surfaces qui portent son nom, notamment la sphère de Riemann. Il approfondira cette théorie en 1857, en faisant progresser la théorie des fonctions abéliennes. Cette théorie avait initialement pour motivation une étude des fonctions multi-valuées comme le logarithme (avec un nombre infini de feuillets) ou la racine carrée (avec deux feuillets). Il introduit en 1848 le terme de « module » pour désigner l'espace de modules qui classifie les surfaces de Riemann compact de genre fixé, qui s'avère être de dimension .
Ses contributions dans ce domaine sont nombreuses. Le théorème de l'application conforme énonce qu'un ouvert simplement connexe du plan complexe est conforme soit à , soit au disque unité. ce résultat connait une généralisation aux surfaces de Riemann, prouvé au par Henri Poincaré et Felix Klein. Des preuves rigoureuses ont été données pour la première fois après le développement d'outils mathématiques plus riches (ici, en topologie). La preuve de Riemann de l'existence de fonctions sur ses surfaces repose sur le principe de Dirichlet, mais Karl Weierstrass pointe une lacune dans l'application de cette méthode. C'est grâce aux travaux de David Hilbert sur le calcul des variations que le principe de Dirichlet a pu finalement être établi. Weierstrass était par ailleurs fortement impressionné par Riemann, en particulier par sa théorie des fonctions abéliennes.