En mathématiques, le théorème de BorelClaude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3.Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76., 2010, p. 99.Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74.Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127., ou lemme de BorelSerge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31., est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.
Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano A. Genocchi et G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.. et en 1895 par Émile BorelÉ. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 (1895) 9-55.. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119. avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.
Énoncé simple Pour toute suite de nombres complexes, il existe une fonction de classe , d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que
Conséquence Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction associée à la suite . Énoncé général Soit un ouvert de et une suite de fonctions de classe à valeurs complexes sur . Alors il existe une fonction de classe à valeurs complexes sur , solution de l'équation aux dérivées partielles :
Il existe une preuve constructiviste de ce résultat..
Notes et références
Articles connexes Fonction régulière non analytique Sommation de Borel Théorème d'extension de Whitney
Catégorie:Série (mathématiques) Borel Borel Catégorie:Équation aux dérivées partielles Catégorie:Émile Borel