En combinatoire, la formule de Dobiński donne une expression du nombre de Bell de rang (c'est-à-dire du nombre de partitions d'un ensemble de taille ) sous forme de somme de série :
La formule porte le nom de G. Dobiński, qui l'a publiée en 1877.
Version probabiliste Dans le cadre de la théorie des probabilités, la formule de Dobiński exprime le -ième moment de la loi de Poisson de moyenne 1. Parfois, la formule de Dobiński est énoncée comme disant que le nombre de partitions d'un ensemble de taille est égal au -ième moment de cette loi.
Formule réduite Le calcul de la somme de la série de Dobiński peut être réduit à une somme finie de termes, en tenant compte du fait que est un entier. Précisément, on a, pour tout entier vérifiant :
où est la partie entière supérieure.
En effet, on a pour tout , de sorte que le reste est dominé par la série , ce qui implique , d'où la formule réduite.
La condition implique mais est satisfaite par un certain de taille .
Généralisation La formule de Dobiński peut être vue comme le cas particulier, pour , de la relation plus générale :
Démonstration de la formule de Dobiński Une preuve repose sur la formule de la fonction génératrice des nombres de Bell ,
Le développement en série entière de l'exponentielle donne
d'où
Le coefficient de dans cette série doit être , donc
Notes et références
Liens externes
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