En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la loi de Markov-Pólya (ou loi de Pólya-Eggenberger ou loi de Pólya) est une loi de probabilité discrète. Elle doit son nom au mathématicien George Pólya (ainsi qu'aux mathématiciens F Eggenberger et Andreï Markov) qui a publié un article, conjointement avec Eggenberger, en 1923 sur cette loi ainsi que sur le problème d'urne sous-jacent. Cependant Markov serait le premier à avoir étudié cette loi en 1917.
Définition Considérons une urne contenant boules blanches et boules noires (pour un total de boules). Nous répétons l'expérience suivante fois : on pioche uniformément au hasard une boule dans l'urne, puis, on replace la boule piochée ainsi que autres boules de la même couleur dans l'urne. La loi de Markov-Pólya de paramètres , , et est alors la loi de la variable aléatoire qui compte le nombre total de boules blanches piochées au bout de ces tirages.
La fonction de masse de la variable peut se calculer et on a
où on a utilisé la notation suivante .
Les paramètres , et sont des entiers naturels tandis que est un entier relatif, il peut donc être négatifSi on retire la boule piochée et on retire aussi boules de la même couleur que la boule piochée.. Lorsque est négatif on rajoute la condition pour éviter tout problème de définition.
Propriétés Soit une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres , , et .
Si , alors suit une loi binomiale de paramètres et . Si , alors suit une loi hypergéométrique de paramètres , et . Si , alors suit une loi bêta-binomiale de paramètres , et . Lorsque on peut réécrire la fonction de masse de des manières suivantes :
où désigne la factorielle croissante et désigne un coefficient binomial généraliséPlus précisément, pour entier positif et réel, on définit le coefficient binomial de la manière suivante : .
La généralisation peut encore être poussée en utilisant la fonction gamma mais ce n'est pas nécessaire dans notre cas..
L'espérance de est donnée par .
Il est intéressant de noter que l'espérance ne dépend pas du paramètre .
La variance de est donnée par . Plus généralement, si alors le -ième moment factoriel de est donnée par
où désigne la factorielle décroissante.
La fonction génératrice des probabilités de vérifie
où désigne la fonction hypergéométrique.
Limites
Soit n une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres , , (fixés) et . On a la convergence en loi suivante :
où désigne la loi bêta. En fait la convergence a lieu pour la distance de Wasserstein à tous les ordres avec pour vitesse de convergence . Cela implique en particulier la convergence de tous les moments vers ceux de la loi bêta.
Soit une variable aléatoire ayant la loi de Markov-Pólya de paramètres , , (dépendant de ) et . Supposons que et que quand tend vers l'infini. Alors converge en loi vers une loi binomiale négativeOn entend ici une loi binomiale négative généralisée à une paramétrisation réelle. Plus précisément, suit une loi binomiale négative de paramètres (réel positif) et (réel entre 0 et 1) si et seulement si
Cette loi binomiale négative généralisée est aussi parfois appelée loi de Polya (ou loi de Polya-Eggenberger) ce qui peut créer des confusions avec la loi de Markov-Polya. de paramètres et . D'autres limites sont possibles (par exemple vers une loi gaussienne lorsque ) en changeant la manière dont évoluent les paramètres en fonction de .
Généralisation On peut généraliser la loi de Markov-Pólya en considérant non plus 2 mais couleurs de boules différentes dans l'urne avec boules blanches, boules noires, boules rouges, etc. Dans ce cas si X représente le vecteur du nombre de boules tirées par couleur après tirages alors on a: .
Il est toujours possible de calculer la fonction génératrice multivariée de X en utilisant les fonctions hypergéométriques.
Pour , (fixés) et qui tend vers l'infini, on a convergence en loi du vecteur vers une loi de Dirichlet de paramètres .
Notes et références
Voir aussi Loi binomiale négative Loi de Dirichlet Fonction hypergéométrique
Catégorie:Loi de probabilité