En mathématiques, la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.
Définitions et propriétés Formellement, la fonction K est définie comme
Ou encore
où est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann, représente la fonction zêta de Hurwitz définie par
Une autre expression utilisant la fonction polygamma estVictor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
Ou la :
où A est la constante de Glaisher-Kinkelin.
On peut montrer que pour tout :
Preuve : Pour cela, on pose définie par : . Après dérivation par rapport à : .
Soit, par définition de la fonction K : . Donc .
En spécialisant en , on obtient , d'où l'identité annoncée.
Lien à la fonction gamma La fonction K est étroitement liée à la fonction gamma et à la fonction G ; pour tout entier naturel n, on a
Car K prolonge l'hyperfactorielle sur les naturels :
Les premières valeurs sont
1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000... ().
Références
Liens externes
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