En mathématiques, la conjecture de Selberg, du nom d'Atle Selberg, est un théorème sur la densité de zéros de la fonction zêta de Riemann ζ(1/2 + it). On sait que la fonction a une infinité de zéros sur cette ligne dans le plan complexe : le problème est de connaître leur répartition. Les résultats sur cela peuvent être formulés en fonction de N(T), la fonction de comptage des zéros sur la droite avec 0 ≤ t ≤ T.
Enoncé En 1942, Atle Selberg étudie la deuxième conjecture de Hardy–Littlewood sur la fonction zêta; et il prouve que pour tout , il existe et tel que pour et , l'inégalité
est vrai.
À son tour, Selberg énonce une conjecture relative à des intervalles plus courts, à savoir qu'il est possible de diminuer la valeur de l'exposant a = 0,5 dans
Preuve de la conjecture En 1984, Anatolii Karatsuba a prouvé que pour un fixé satisfaisant
un T suffisamment grand et
l'intervalle en ordonnée t(T , T + H) contient au moins cH ln(T) zéros de la fonction zêta de Riemann
et a ainsi confirmé la conjecture de Selberg.
Travaux postérieurs En 1992, Karatsuba a prouvé qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour "presque tous" les intervalles ]T , T + H], H = Tε où ε est un nombre positif fixe arbitrairement petit. La méthode de Karatsuba permet d'étudier les zéros de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles "supercourts" de la droite critique, c'est-à-dire sur les intervalles ]T , T + H], dont la longueur H croît plus lentement que n'importe quel puissance de T.
En particulier, il a démontrer que pour tout nombre donné ε, ε1 satisfaisant les conditions 0 < ε,ε1 < 1 presque tous les intervalles ]T , T + H ] pour H ≥ exp[(ln T )ε] contiennent au moins H (ln T )1−ε1 zéros de la fonction ζ(1/2 + it). Cette estimation est assez proche du résultat qui découle de l'hypothèse de Riemann.
Notes et références
Selberg Catégorie:Fonction zêta