vignette| Atle Selberg En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le crible de Selberg est une technique permettant d'estimer la taille des "ensembles criblés" d'entiers positifs qui satisfont à un ensemble de conditions qui sont exprimées par des congruences. Il a été développé par Atle Selberg dans les années 1940.
Description En termes de théorie des cribles, le crible de Selberg est de type combinatoire : c'est-à-dire qu'il découle d'une utilisation subtile du principe d'inclusion-exclusion . Selberg a remplacé les valeurs de la fonction de Möbius en un système de poids qui sont ensuite optimisés pour s'adapter au problème donné. Le résultat donne une limite supérieure pour la taille de l'ensemble.
Soit A un ensemble d'entiers positifs ≤ x et P un ensemble de nombres premiers. Soit Ad l'ensemble des éléments de A divisible par d lorsque d est un produit de nombres premiers distincts de P. De plus, soit A1 désignant A lui-même. Soient z un nombre réel positif et P(z) représentant le produit des nombres premiers de P étant ≤ z. L'objet du crible est d'estimer
Nous supposons que |A d| peut être estimé par
où f est une fonction multiplicative et X = |A|. Soit la fonction g obtenue à partir de f par inversion de Möbius, c'est-à-dire
où μ est la fonction de Möbius . Soit
Alors
où [d1, d2] désigne le plus petit commun multiple de d1 et d2. Il est souvent utile d'estimer V(z) par
Applications
Le sur le nombre de nombres premiers dans une progression arithmétique ; Le nombre de n ≤ x tel que n est premier avec φ(n) est asymptotique à .
Références
Catégorie:Théorie des cribles