Le critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov est un théorème de topologie qui affirme qu'un espace topologique est métrisable si (et seulement si) il est régulier et a une base dénombrablement localement finie. Il a été démontré indépendamment par Jun-iti Nagata (1950), (1951) et R. H. Bing (1951).
(Tout espace métrique E possède bien une base réunion dénombrable de familles F localement finies, chaque F étant obtenue en raffinant (par paracompacité) le recouvrement de E par toutes les boules ouvertes de rayon 1/n.)
On peut en déduire le théorème de métrisabilité de Smirnov : un espace est métrisable si (et seulement si) il est paracompact et localement métrisable. En effet, tout espace paracompact X est normal donc régulier, et s'il est de plus recouvert par des ouverts U admettant chacun une base B dénombrablement localement finie alors, en se ramenant (par raffinement) au cas où le recouvrement (U) est localement fini, la réunion des B est une base dénombrablement localement finie de X.
Références
Nagata-Smirnov