En mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie des anneaux commutatifs, un anneau de décomposition universel, ou bien une A-algèbre de décomposition universelle, d'un polynôme P non nul à coefficients dans un anneau A, est un anneau contenant A sur lequel P est scindé, et qui satisfait, relativement à cette décomposition, une propriété universelle au sens de la théorie des catégories.
Quel que soit l'anneau commutatif A et le polynôme unitaire P, on peut toujours construire un anneau de décomposition universel de P sur A, et ce dernier est unique à une identification près.
Si A est un corps, l'anneau de décomposition universel de P n'est pas, en général, isomorphe au corps de décomposition de P.
Définitions et remarques
Dans cet article, A désigne un anneau commutatif, et P un polynôme unitaire sur A de degré n ≥ 0.
On suppose que B est un anneau commutatif contenant A comme sous-anneau. S'il existe x, ... x dans B tels que
on dit que P est scindé dans B, et par abus dans cet article, que est un scindage de P dans B. Si P est constant, il est, par convention, scindé dans A de scindage vide.
Si ' est un autre anneau commutatif et ρ est un homomorphisme de A dans , on note P le polynôme à coefficients dans obtenu en appliquant ρ aux coefficients de P.
On dénote par 𝒞 la catégorie des objets où: - B est un anneau commutatif, - P est un polynôme à coefficients dans B, - (x, ... x) est un scindage de P dans B, - les morphismes entre deux objets et sont les homomorphismes d'anneaux tels que P = P et y = φ(x) pour tout i, - O est le foncteur «oubli» qui associe B à et maintient les morphismes de 𝒞 .
Définition : Un anneau de décomposition universel D de P sur A est un anneau contenant A (à une identification près) et des éléments tels que P = , pour tout homomorphisme ρ de A dans un anneau commutatif B, si P admet un scindage dans B, alors il existe un unique homomorphisme étendant ρ à D et tel que ρ(x) = y. En d'autre terme, il existe un unique 𝒞-morphisme φ de dans dont l'image par O étend ρ à D . Si ces propriétés sont remplies, on dit que est une décomposition universelle de P sur A (et par abus dans cet article, que est un scindage universel de P sur A).
L'anneau de décomposition universel de P sur A est souvent noté A.
Cette définition est bien universelle dans le sens de la théorie des catégories ; en effet, en notant Ob1 = et Ob2 = , on a l'injection canonique i de A dans D = et l'homomorphisme ρ de A dans B = . L'existence d'un unique morphisme φ entre Ob1 et Ob2 tel que étende ρ correspond aux conditions requises pour une propriété universelle:
Propriété: Si D est un anneau de décomposition universel pour le scindage de P, alors c'est un anneau de décomposition universel pour le scindage de P, quelle que soit la permutation σ des indices 1,2, ..., n. En effet, si B est un anneau dans lequel P admet le scindage , alors est encore un scindage de P dans B, donc il existe un unique morphisme de dans . Ce dernier est l'unique morphisme de dans .
Théorèmes de structure
Avec les notations précédentes, on écrit
et On note s le k-ième polynôme symétrique élémentaire en les variables X, ..., X.
Il existe un anneau de décomposition universel D de P sur A, unique à une identification près ; si (x, ..., x) est une décomposition universelle de P dans D, l'anneau D est un A-module libre de rang n!, dont une base est formée des monômes tels que pour tout i ; à un isomorphisme près, D est l'anneau , où ℐ est l'idéal engendré par les éléments r = dans , avec . Les x s'identifient alors aux X + ℐ; les racines x, ... x sont distinctes, sauf si la caractéristique de A est 2 et P = , auquel cas P a une unique racine double.
On peut donner une démonstration de ce théorème en utilisant directement des théorèmes de structure des algèbres de polynômes symétriques (Bourbaki). Dans la boite déroulante ci-après, on construit D récursivement en montrant les assertion (1) et (2) du théorème, puis on en déduit la forme précise (3) de D.
Démonstration des numéros (1) et (2) :
Existence : Si deg(P) = 0, l'anneau A (dans lequel P est scindé par convention) satisfait trivialement aux conditions requises. On suppose le théorème démontré pour tout anneau A et tout polynôme sur A de degré au plus (n ≥ 1). Soient P ∈ avec deg(P) = n ≥ 1.
Soient X une indéterminée, ℐ l'idéal principal engendré par dans et R = . Comme P est unitaire de degré > 0, les éléments non nuls de ℐ sont tous de degré ≥ n > 0, donc l'intersection de A avec ℐ se réduit à . Il s'ensuit que R est un anneau commutatif contenant A à une identification près. Soit x la classe de X dans R. À l'aide de la division euclidienne, on vérifie sans peine que est une partie génératrice de R sur A. Comme les éléments non nuls de ℐ sont de degré ≥ n, cette partie est aussi libre, sans quoi, un polynôme non nul de degré < n appartiendrait à ℐ, noyau de la surjection canonique. Ainsi R est un A module libre de rang n, dont une base est 1, x, ..., x .
Dans R, x est une racine de P, donc la division euclidienne de par (licite car ce diviseur est unitaire en X), mène à = , avec Q ∈ , Q unitaire, et = .
On applique l'hypothèse d'induction avec Q à la place de P et R à la place de A : il existe un anneau de décomposition universel de Q sur R, qui est aussi un R-module libre de rang , et dont une base est formée des monômes tels que pour tout i. Par la loi de composition des bases dans les modules libres, on en conclu que ' est encore un A module libre de rang n!, dont la base est précisée dans l'énoncé du théorème.
On va maintenant montrer que est un anneau de décomposition universel de P sur A.
D'abord, il est clair que est un scindage de P dans D.
Soit B un anneau commutatif, et ρ un homomorphisme de A dans B. On suppose, comme le veut la définition, que P admette un scindage dans B. on vérifie sans peine que l'extension de ρ à A[X] à valeurs dans B, définie par X ↦ y, induit, par passage au quotient, une extension φ de ρ à R à valeurs dans B satisfaisant = y, et il n'y a pas d'autre extension de ρ à R qui satisfasse à cette dernière condition (unicité). On a : (X -y)...(X - y) = P = P = . Donc, puisque est unitaire, = (unicité du quotient dans la division euclidienne).
L'hypothèse d'induction assure qu'il existe une unique extension ͠φ de φ à ' à valeurs dans B telle que = pour tout i entre 1 et . Puisque φ est l'unique extension de ρ à R à valeurs dans B satisfaisant = y, ͠φ est encore l'unique extension de ρ à ' à valeurs dans B satisfaisant = pour tout i entre 1 et n (C.Q.F.D.)
Unicité : L'unicité provient de l'universalité. Soit un autre anneau de décomposition universel de P sur A. En faisant B = et en substituant à ρ l'injection canonique i: A → dans la définition de l'anneau de décomposition universel plus haut, on a un 𝒞-morphisme φ: → . De façon symétrique, on a un 𝒞-morphisme ψ : → . Donc ψφ est un 𝒞-morphisme de dans lui même. Mais un tel morphisme est nécessairement unique, comme on le voit par la définition en faisant cette fois B = D et ρ = Id, donc c'est l'identité. Ainsi, si O est le foncteur oubli (voir première section), = Id = , ce qui signifie que est injectif. De façon symétrique, φψ est un 𝒞-morphisme de dans lui même, et on a = Id. Donc est surjectif. Ainsi O(φ) est un isomorphisme.
Démonstration du numéro 3 :
On note R l'anneau , et T l'anneau . Soit un anneau de décomposition universel de P sur A.
En notant la classe de X dans R, le théorème fondamental des fonctions symétriques implique que () est un scindage de P dans R car = a par définition de ℐ.
On considère l'homomorphisme de substitution ψ de T dans D qui associe x à X pour tout i.
Le théorème fondamental des fonctions symétriques à nouveau montre que les coefficients a sont égaux à (1 ≤ k ≤ n). Donc les éléments sont dans le noyau de ψ, ou ce qui revient au même, ℐ ⊆ ker(ψ). Mais alors ψ induit, par passage au quotient, un A-homomorphisme de R dans D qui associe x à . Si B, ρ et sont définis comme plus haut, il existe un unique 𝒞-morphisme φ de dans . Donc φ est un 𝒞-morphisme de dans . Ce 𝒞-morphisme est l'unique qui envoie sur y pour tout i car les engendrent R sur A. Ainsi, R est un anneau de décomposition universel de P sur A.
Démonstration du numéro 4:
Si > 2 et si i et j sont > 1, = 0 constitue une relation de dépendance linéaire non triviale entre deux éléments de la base du A-module D spécifiée dans le théorème, et ne peut donc avoir lieu. Si i ou j = 1, il suffit de permuter les indices pour se ramener à ce cas. Si maintenant = 2 et x = x, alors P = . On a donc, avec les notations du théorème, 2x- a = 0. Si 2 ou a est différent de 0, cela constitue une relation de dépendance linéaire non triviale entre les éléments de la base {x = 1, x} de D, ce qui est interdit. Il faut donc que 2 et a soient nuls dans A. Ce cas de figure ne peut se produire que si la caractéristique de A est 2 et si P est de la forme .
Réciproquement, si tel est le cas, on a x+x = a = 0, ou bien x = -x = x, puisque, 2 étant nul, 1 = -1 dans A.
Remarques Il suit immédiatement du que les x engendrent D sur A. Dans T = , définissons P, ... , P par : P = , et pour tout k ≤ , P = , où Q est le quotient de la division euclidienne de P par (donc P ∈ ). Alors la construction dans la preuve du théorème ci-dessus montre (avec un peu d'attention) que l'anneau de décomposition universel de P sur A est , où 𝒥 est l'idéal engendré par les P dans T. Cette construction peut s'avérer plus maniable que la construction par les polynômes symétriques. Il suit du numéro 4 qu'à l'exception du cas où A est de caractéristique 2 et P = , si le discriminant de P est nul, D ne peut être intègre. cela résulte du fait que le discriminant de P est égal au produit des carrés des différences des paires de racines d'indices distincts. Néanmoins, cette condition est loin d'être suffisante : l'anneau de décomposition universel d'un polynôme P n'est pas intègre en général, même lorsque A est un corps. Cela sera cependant le cas si A est un corps et les polynômes définis dans la remarque plus haut sont irréductibles sur . Dans ce cas d'ailleurs, D s'identifie au corps de décomposition de P sur A. Exemples Exemple 1 : On suppose que A = ℚ , et = . Posons P = P et P = . D'après une remarque précédente, l'anneau de décomposition universel est
Par le théorème des restes chinois, cet anneau est isomorphe à
Quelles sont les racines de P dans ? On note x la class de X dans . Comme et que x est racine de P, l'autre racine est 3-x. Dans l'isomorphisme du théorème des restes chinois ci-dessus, x passe sur (X mod (X-1), X mod (X-2)), c'est-à-dire sur (1, 2), tandis que 3 - x passe sur 3 - (1,2) = (3-1, 3-2) = (2,1). Ainsi, les deux racines de P dans sont et . Ce ne sont pas les seules racines: et sont aussi racines de P dans , ce qu'on vérifie immédiatement puisque
On a bien un unique homomorphisme de dans lui même envoyant sur et sur : c'est l'homomorphisme .
En revanche, le scindage de P n'est pas universel ; en effet, s'il existait un homomorphisme de dans lui même envoyant sur et sur , il enverrait alors = sur = , une contradiction.
Enfin le corps de décomposition de P est évidemment ℚ, où les racines de P sont 1 et 2. L'unique homomorphisme de dans ℚ qui envoie sur 1 et sur 2 est . Par contre, s'il existait un homomorphisme de ℚ dans envoyant 1 sur et 2 sur , il enverrait 2 = 1+1 sur = , une contradiction. Donc ℚ n'est pas un anneau de décomposition universel de P.
Exemple 2 : On considère maintenant un cas pathologique : A = ℚ et P = X. L'élément 0 est racine double de P dans A. On a D = . La division euclidienne de P par donne P = . On voit qu'un polynôme P peut avoir un scindage dans D (et même dans A) comportant une racine double, tandis que sa décomposition universelle n'en comporte pas.