En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaireLe terme d’opérateur est privilégié entre espaces fonctionnels. ou transformation linéaire.Beaucoup d'auteurs (par ex. ) réservent l'usage de « transformation » à celles qui sont bijectives.) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires, équation (5)., formule (1.2).. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension.
Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.
Définitions Cas général Soient et deux espaces vectoriels sur un corps . Une application est dite -linéaire, chap. 4., définition 4. (ou « morphisme de -espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois additivité
homogénéité .
Ces deux propriétés peuvent être vérifiées simultanément par la caractérisation suivante :
ou plus simplement : .
De façon équivalente, une application est linéaire si et seulement si son graphe est un sous-espace vectoriel de .
L'ensemble des applications linéaires de dans est généralement noté ou voire ., avec un indice souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.
Cas particuliers Un isomorphisme, definition (2.13). d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif. On note l'ensemble des isomorphismes de sur ; Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée. On note l'ensemble des endomorphismes de E ; Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note le groupe des automorphismes de (appelé aussi le groupe linéaire de ) ; Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps , on parle de forme linéaire. On note l'ensemble des formes linéaires sur (appelé aussi espace dual de ).
Exemples et contre-exemples Étant donné un espace vectoriel sur un corps , toute famille de scalaires définit une application linéaire de l’ensemble des -uplets de vecteurs vers .
En particulier, toute homothétie vectorielle est linéaire.
Sur l’ensemble des fonctions réelles dérivables sur un intervalle , la dérivation constitue une application linéaire vers l’ensemble des fonctions réelles.
La conjugaison dans l’ensemble des nombres complexes est une application -linéaire mais pas -linéaire.
La composition à droite définit une application linéaire, mais en général pas la composition à gauche .
L’intégration de fonction, l’évaluation en un point, et les limites éventuelles sont aussi linéaires sur l’ensemble des fonctions pour lesquelles ces opérations sont définies.
Sur l’ensemble des suites à valeurs dans un corps , le décalage , la limite éventuelle et la construction de la série associée sont linéaires également.
Sur l’ensemble des matrices, la multiplication à gauche et/ou à droite, la transposée et la trace sont linéaires.
L’espérance définit une application linéaire sur l’ensemble des variables aléatoires réelles qui en admettent une.
Toute application induite en homologie sur un corps est linéaire sur ce corps.
Propriétés Toute application linéaire préserve les combinaisons linéaires : pour toute famille finie de vecteurs et pour toute famille de scalaires (c'est-à-dire d'éléments de ),
Soient et deux espaces vectoriels (respectivement deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) . L'ensemble des applications linéaires de dans est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de .
La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :.En particulier, est une loi de composition interne sur . La réciproque d’un isomorphisme est linéaire également. Si est un -espace vectoriel (resp. un -module libre), une application linéaire est entièrement déterminée par l'image par d'une base de . Plus précisément : pour toute base de , toute application de dans se prolonge de façon unique en une application linéaire de dans . Tout choix d'une base de fournit donc une bijection .
Noyau et image
Si est une application linéaire de dans , alors son noyau, noté , formule (1.5)., et son image, notée , sont définis par : ; .
provient de ., traduction de « noyau » en allemand. provient de image.
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.
L'ensemble est un sous-espace vectoriel de , et l'ensemble est un sous-espace vectoriel de . Plus généralement., l'image réciproque par d'un sous-espace vectoriel de est un sous-espace vectoriel de ; l'image directe par d'un sous-espace vectoriel de est un sous-espace vectoriel de .
Pour toute famille génératrice de , est le sous-espace de engendré par la famille .
L'espace vectoriel quotient s'appelle le conoyau de .
Le théorème de factorisation affirme que induit un isomorphisme du quotient sur l'image .
Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module », et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :
En dimension finie Si est de dimension finie et si le corps est commutatif, alors la dimension de est donnée par :.En particulier, si est aussi de dimension finie, alors l'est également. Si et sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) , une application linéaire de dans se représente par une matrice dans des bases fixées dans et . Cette représentation matricielle est commode pour calculer le noyau et l'image de .
Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour et de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang : .
La dimension de est aussi appelée le rang de et est notée .
Notes
Références . . . .
Voir aussi
Opérateur borné entre espaces vectoriels normés Application multilinéaire
* Lineaire